((x^3-8*x^2+15*x)*1/(x^2)-7*x+12)*(1/4-x)>0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: ((x^3-8*x^2+15*x)*1/(x^2)-7*x+12)*(1/4-x)>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
    / 3      2                  \              
    |x  - 8*x  + 15*x           |              
    |---------------- - 7*x + 12|*(1/4 - x) > 0
    |        2                  |              
    \       x                   /              
    $$\left(- x + \frac{1}{4}\right) \left(- 7 x + \frac{1}{x^{2}} \left(15 x + x^{3} - 8 x^{2}\right) + 12\right) > 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(- x + \frac{1}{4}\right) \left(- 7 x + \frac{1}{x^{2}} \left(15 x + x^{3} - 8 x^{2}\right) + 12\right) > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(- x + \frac{1}{4}\right) \left(- 7 x + \frac{1}{x^{2}} \left(15 x + x^{3} - 8 x^{2}\right) + 12\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\left(- x + \frac{1}{4}\right) \left(- 7 x + \frac{1}{x^{2}} \left(15 x + x^{3} - 8 x^{2}\right) + 12\right) = 0$$
    преобразуем:
    Вынесем общий множитель за скобки
    $$\frac{1}{4 x} \left(4 x - 1\right) \left(6 x^{2} - 4 x - 15\right) = 0$$
    знаменатель
    $$x$$
    тогда
    x не равен 0

    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x - \frac{1}{4} = 0$$
    $$6 x^{2} - 4 x - 15 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x - \frac{1}{4} = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = \frac{1}{4}$$
    Получим ответ: x1 = 1/4
    3.
    $$6 x^{2} - 4 x - 15 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 6$$
    $$b = -4$$
    $$c = -15$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-4)^2 - 4 * (6) * (-15) = 376

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{94}}{6}$$
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{1}{3}$$
    но
    x не равен 0

    $$x_{1} = \frac{1}{4}$$
    $$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{94}}{6}$$
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{1}{3}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{4}$$
    $$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{94}}{6}$$
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{1}{3}$$
    Данные корни
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{1}{3}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{4}$$
    $$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{94}}{6}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{3}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
    =
          ____     
    1   \/ 94    1 
    - - ------ - --
    3     6      10

    =
    $$- \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{7}{30}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(- x + \frac{1}{4}\right) \left(- 7 x + \frac{1}{x^{2}} \left(15 x + x^{3} - 8 x^{2}\right) + 12\right) > 0$$
    /                 3                      2                                                  \                          
    |/      ____     \      /      ____     \       /      ____     \                           |                          
    ||1   \/ 94    1 |      |1   \/ 94    1 |       |1   \/ 94    1 |                           |                          
    ||- - ------ - --|  - 8*|- - ------ - --|  + 15*|- - ------ - --|     /      ____     \     | /          ____     \    
    |\3     6      10/      \3     6      10/       \3     6      10/     |1   \/ 94    1 |     | |1   1   \/ 94    1 |    
    |---------------------------------------------------------------- - 7*|- - ------ - --| + 12|*|- - - - ------ - --| > 0
    |                                         1                           \3     6      10/     | \4   3     6      10/    
    |                     /                 2\                                                  |                          
    |                     |/      ____     \ |                                                  |                          
    |                     ||1   \/ 94    1 | |                                                  |                          
    |                     ||- - ------ - --| |                                                  |                          
    \                     \\3     6      10/ /                                                  /                          

                  /                                  3                  2           \    
                  |                     /       ____\      /       ____\        ____|    
                  |                 7   |7    \/ 94 |      |7    \/ 94 |    5*\/ 94 |    
    /       ____\ |          ____   - + |-- - ------|  - 8*|-- - ------|  - --------|    
    |1    \/ 94 | |311   7*\/ 94    2   \30     6   /      \30     6   /       2    |    
    |-- + ------|*|--- + -------- + ------------------------------------------------| > 0
    \60     6   / | 30      6                                     2                 |    
                  |                                  /       ____\                  |    
                  |                                  |7    \/ 94 |                  |    
                  |                                  |-- - ------|                  |    
                  \                                  \30     6   /                  /    

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{1}{3}$$
     _____           _____          
          \         /     \    
    -------ο-------ο-------ο-------
           x3      x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{1}{3}$$
    $$x > \frac{1}{4} \wedge x < \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{94}}{6}$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
      /   /                   ____\                          /              ____    \\
      |   |             1   \/ 94 |                          |        1   \/ 94     ||
    Or|And|-oo < x, x < - - ------|, And(0 < x, x < 1/4), And|x < oo, - + ------ < x||
      \   \             3     6   /                          \        3     6       //
    $$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{1}{3}\right) \vee \left(0 < x \wedge x < \frac{1}{4}\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{94}}{6} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
                ____                      ____     
          1   \/ 94                 1   \/ 94      
    (-oo, - - ------) U (0, 1/4) U (- + ------, oo)
          3     6                   3     6        
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{1}{3}\right) \cup \left(0, \frac{1}{4}\right) \cup \left(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{94}}{6}, \infty\right)$$