Решите неравенство sqrt(x+3)-sqrt(3*x-2)>sqrt(x-2) (квадратный корень из (х плюс 3) минус квадратный корень из (3 умножить на х минус 2) больше квадратный корень из (х минус 2)) - Укажите множество решений неравенства подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

sqrt(x+3)-sqrt(3*x-2)>sqrt(x-2) (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: sqrt(x+3)-sqrt(3*x-2)>sqrt(x-2) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
      _______     _________     _______
    \/ x + 3  - \/ 3*x - 2  > \/ x - 2 
    $$\sqrt{x + 3} - \sqrt{3 x - 2} > \sqrt{x - 2}$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$\sqrt{x + 3} - \sqrt{3 x - 2} > \sqrt{x - 2}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sqrt{x + 3} - \sqrt{3 x - 2} = \sqrt{x - 2}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sqrt{x + 3} - \sqrt{3 x - 2} = \sqrt{x - 2}$$
    Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
    $$\left(\sqrt{x + 3} - \sqrt{3 x - 2}\right)^{2} = x - 2$$
    или
    $$1^{2} \cdot \left(1 x + 3\right) + \left(\left(-1\right) 2 \cdot 1 \sqrt{\left(1 x + 3\right) \left(3 x - 2\right)} + \left(-1\right)^{2} \cdot \left(3 x - 2\right)\right) = x - 2$$
    или
    $$4 x - 2 \sqrt{3 x^{2} + 7 x - 6} + 1 = x - 2$$
    преобразуем:
    $$- 2 \sqrt{3 x^{2} + 7 x - 6} = - 3 x - 3$$
    Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
    $$12 x^{2} + 28 x - 24 = \left(- 3 x - 3\right)^{2}$$
    $$12 x^{2} + 28 x - 24 = 9 x^{2} + 18 x + 9$$
    Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
    $$3 x^{2} + 10 x - 33 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 3$$
    $$b = 10$$
    $$c = -33$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (10)^2 - 4 * (3) * (-33) = 496

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = - \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
    Упростить
    $$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{5}{3}$$
    Упростить

    Т.к.
    $$\sqrt{3 x^{2} + 7 x - 6} = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$$
    и
    $$\sqrt{3 x^{2} + 7 x - 6} \geq 0$$
    то
    $$\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \geq 0$$
    или
    $$-1 \leq x$$
    $$x < \infty$$
    $$x_{1} = - \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
    проверяем:
    $$x_{1} = - \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
    $$- \sqrt{x_{1} - 2} + \sqrt{x_{1} + 3} - \sqrt{3 x_{1} - 2} = 0$$
    =
    $$- \sqrt{-2 - \left(\frac{5}{3} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)} - \left(- \sqrt{\left(- \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right) + 3} + \sqrt{-2 + 3 \left(- \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)}\right) = 0$$
    =
    0 = 0

    - тождество
    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = - \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
    $$x_{1} = - \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
    $$x_{1} = - \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} - \left(\frac{5}{3} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)$$
    =
    $$- \frac{53}{30} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
    подставляем в выражение
    $$\sqrt{x + 3} - \sqrt{3 x - 2} > \sqrt{x - 2}$$
    $$- \sqrt{-2 + 3 \left(- \frac{53}{30} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)} + \sqrt{\left(- \frac{53}{30} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right) + 3} > \sqrt{-2 - \left(\frac{53}{30} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)}$$
         _______________                                __________________
        /          ____        _________________       /             ____ 
       /  37   2*\/ 31        /   73       ____  >    /    113   2*\/ 31  
      /   -- + --------  -   /  - -- + 2*\/ 31       /   - --- + -------- 
    \/    30      3        \/     10               \/       30      3     

    Тогда
    $$x < - \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x > - \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
             _____  
            /
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
       /                      ____\
       |              5   2*\/ 31 |
    And|2 <= x, x < - - + --------|
       \              3      3    /
    $$2 \leq x \wedge x < - \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
    Быстрый ответ 2 [src]
                  ____ 
          5   2*\/ 31  
    [2, - - + --------)
          3      3     
    $$x\ in\ \left[2, - \frac{5}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)$$
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: