5^(2*x+1)-5^(x+2)<=5^x-5 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 5^(2*x+1)-5^(x+2)<=5^x-5 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     2*x + 1    x + 2     x    
    5        - 5      <= 5  - 5
    $$- 5^{x + 2} + 5^{2 x + 1} \leq 5^{x} - 5$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$- 5^{x + 2} + 5^{2 x + 1} \leq 5^{x} - 5$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$- 5^{x + 2} + 5^{2 x + 1} = 5^{x} - 5$$
    Решаем:
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 1$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 1$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$- 5^{x + 2} + 5^{2 x + 1} \leq 5^{x} - 5$$
     2*(-11)          11               
     ------- + 1    - -- + 2           
        10            10         1     
    5            - 5         <= --- - 5
                                 11    
                                 --    
                                 10    
                                5      

               4/5          9/10
       9/10   5            5    
    - 5     + ---- <= -5 + -----
               25            25 
        

    но
               4/5          9/10
       9/10   5            5    
    - 5     + ---- >= -5 + -----
               25            25 
        

    Тогда
    $$x \leq -1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq -1 \wedge x \leq 1$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    And(-1 <= x, x <= 1)
    $$-1 \leq x \wedge x \leq 1$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    [-1, 1]
    $$x \in \left[-1, 1\right]$$