5^(2*x+4)-25*5^(x+4)-5^x+25>0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 5^(2*x+4)-25*5^(x+4)-5^x+25>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     2*x + 4       x + 4    x         
    5        - 25*5      - 5  + 25 > 0
    $$- 5^{x} + - 25 \cdot 5^{x + 4} + 5^{2 x + 4} + 25 > 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$- 5^{x} + - 25 \cdot 5^{x + 4} + 5^{2 x + 4} + 25 > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$- 5^{x} + - 25 \cdot 5^{x + 4} + 5^{2 x + 4} + 25 = 0$$
    Решаем:
    $$x_{1} = -4$$
    $$x_{2} = 2$$
    $$x_{1} = -4$$
    $$x_{2} = 2$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -4$$
    $$x_{2} = 2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{41}{10}$$
    =
    $$- \frac{41}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$- 5^{x} + - 25 \cdot 5^{x + 4} + 5^{2 x + 4} + 25 > 0$$
     2*(-41)             41                   
     ------- + 4       - -- + 4               
        10               10        1          
    5            - 25*5         - --- + 25 > 0
                                   41         
                                   --         
                                   10         
                                  5           

                9/10    4/5    
         15626*5       5       
    25 - ----------- + ---- > 0
             3125      3125    
        

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < -4$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < -4$$
    $$x > 2$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-oo < x, x < -4), And(2 < x, x < oo))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < -4\right) \vee \left(2 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, -4) U (2, oo)
    $$x \in \left(-\infty, -4\right) \cup \left(2, \infty\right)$$