log(5-x)^2*1/x-3>0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: log(5-x)^2*1/x-3>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       2               
    log (5 - x)        
    ----------- - 3 > 0
         x             
    $$-3 + \frac{1}{x} \log^{2}{\left (- x + 5 \right )} > 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$-3 + \frac{1}{x} \log^{2}{\left (- x + 5 \right )} > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$-3 + \frac{1}{x} \log^{2}{\left (- x + 5 \right )} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$-3 + \frac{1}{x} \log^{2}{\left (- x + 5 \right )} = 0$$
    преобразуем
    $$-3 + \frac{1}{x} \log^{2}{\left (- x + 5 \right )} = 0$$
    $$\frac{1}{x} \left(- 3 x + \log^{2}{\left (- x + 5 \right )}\right) = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (- x + 5 \right )}$$
    Раскроем выражение в уравнении
    $$\frac{1}{x} \left(w^{2} - 3 x\right) = 0$$
    Получаем квадратное уравнение
    $$\frac{w^{2}}{x} - 3 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = \frac{1}{x}$$
    $$b = 0$$
    $$c = -3$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (0)^2 - 4 * (1/x) * (-3) = 12/x

    Уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = \sqrt{3} x \sqrt{\frac{1}{x}}$$
    $$w_{2} = - \sqrt{3} x \sqrt{\frac{1}{x}}$$
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (- x + 5 \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\log{\left (- x + 5 \right )} = w$$
    $$\log{\left (- x + 5 \right )} = w$$
    Это уравнение вида:
    log(v)=p

    По определению log
    v=e^p

    тогда
              w
              -
              1
    -x + 5 = e 

    упрощаем
    $$- x + 5 = e^{w}$$
    $$- x = e^{w} - 5$$
    $$x = - e^{w} + 5$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = 0.707491355181$$
    $$x_{1} = 0.707491355181$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 0.707491355181$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$0.607491355181$$
    =
    $$0.607491355181$$
    подставляем в выражение
    $$-3 + \frac{1}{x} \log^{2}{\left (- x + 5 \right )} > 0$$
       2                            
    log (5 - 0.607491355181)        
    ------------------------ - 3 > 0
                      1             
        0.607491355181              

    0.605163264207669 > 0

    значит решение неравенства будет при:
    $$x < 0.707491355181$$
     _____          
          \    
    -------ο-------
           x1