sin(x)+cos(x)>=0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: sin(x)+cos(x)>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    sin(x) + cos(x) >= 0
    $$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \geq 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
    преобразуем:
    $$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} = -1$$
    или
    $$\tan{\left (x \right )} = -1$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left (1 \right )}$$
    Или
    $$x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
    , где n - любое целое число
    $$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
    $$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\pi n + \frac{\pi}{4} + - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
    подставляем в выражение
    $$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \geq 0$$
    $$\sin{\left (\pi n + \frac{\pi}{4} + - \frac{1}{10} \right )} + \cos{\left (\pi n + \frac{\pi}{4} + - \frac{1}{10} \right )} \geq 0$$
       /  1    pi       \      /  1    pi       \     
    cos|- -- + -- + pi*n| + sin|- -- + -- + pi*n| >= 0
       \  10   4        /      \  10   4        /     

    но
       /  1    pi       \      /  1    pi       \    
    cos|- -- + -- + pi*n| + sin|- -- + -- + pi*n| < 0
       \  10   4        /      \  10   4        /    

    Тогда
    $$x \leq \pi n + \frac{\pi}{4}$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x \geq \pi n + \frac{\pi}{4}$$
             _____  
            /
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       /-pi             3*pi\
    And|---- <= x, x <= ----|
       \ 4               4  /
    $$- \frac{\pi}{4} \leq x \wedge x \leq \frac{3 \pi}{4}$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     -pi   3*pi 
    [----, ----]
      4     4   
    $$x \in \left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$