log(5)*1/log(x^2-5*x)*1/log(5)*log(x)*1/(x^2)<=1 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: log(5)*1/log(x^2-5*x)*1/log(5)*log(x)*1/(x^2)<=1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
    /    log(5)   \            
    |-------------|            
    |   / 2      \|            
    \log\x  - 5*x//            
    ---------------*log(x)     
         log(5)                
    ---------------------- <= 1
               2               
              x                
    $$\frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )} \frac{1}{\log{\left (x^{2} - 5 x \right )}} \leq 1$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )} \frac{1}{\log{\left (x^{2} - 5 x \right )}} \leq 1$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )} \frac{1}{\log{\left (x^{2} - 5 x \right )}} = 1$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )} \frac{1}{\log{\left (x^{2} - 5 x \right )}} = 1$$
    преобразуем
    $$-1 + \frac{\log{\left (x \right )}}{x^{2} \log{\left (x^{2} - 5 x \right )}} = 0$$
    $$-1 + \frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )} \frac{1}{\log{\left (x^{2} - 5 x \right )}} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (x^{2} - 5 x \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$-1 + \frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )} \frac{1}{\log{\left (x^{2} - 5 x \right )}} = 0$$
    Используем правило пропорций:
    Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
    В нашем случае
    a1 = log(x)/x^2

    b1 = log(x^2 - 5*x)

    a2 = 1

    b2 = 1

    зн. получим ур-ние
    $$\frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )} = \log{\left (x^{2} - 5 x \right )}$$
    $$\frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )} = \log{\left (x^{2} - 5 x \right )}$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    logxx^2 = log(x^2 - 5*x)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    logxx^2 = logx+2+5*x

    Данное ур-ние не имеет решений
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (x^{2} - 5 x \right )} = w$$
    подставляем w:
    False

    $$x_{2} = 0.157784664164 - 0.75351918182 i$$
    $$x_{3} = 5.20421800481$$
    $$x_{4} = 0.157784664164 + 0.75351918182 i$$
    Исключаем комплексные решения:
    $$x_{1} = 5.20421800481$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 5.20421800481$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$5.10421800481$$
    =
    $$5.10421800481$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )} \frac{1}{\log{\left (x^{2} - 5 x \right )}} \leq 1$$
    /                log(5)                \                        
    |--------------------------------------|                        
    |   1/             2                  \|                        
    \log \5.10421800481  - 5*5.10421800481//                        
    ----------------------------------------*log(5.10421800481)     
                       1                                            
                    log (5)                                         
    ----------------------------------------------------------- <= 1
                                         1                          
                         /             2\                           
                         \5.10421800481 /                           

    -0.0991238038465258 <= 1

    значит решение неравенства будет при:
    $$x \leq 5.20421800481$$
     _____          
          \    
    -------•-------
           x1