sqrt(1+x)<x (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: sqrt(1+x)<x (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      _______    
    \/ 1 + x  < x
    $$\sqrt{x + 1} < x$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\sqrt{x + 1} < x$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sqrt{x + 1} = x$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sqrt{x + 1} = x$$
    $$\sqrt{x + 1} = x$$
    Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
    $$x + 1 = x^{2}$$
    $$x + 1 = x^{2}$$
    Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
    $$- x^{2} + x + 1 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -1$$
    $$b = 1$$
    $$c = 1$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (1)^2 - 4 * (-1) * (1) = 5

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
    $$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

    Т.к.
    $$\sqrt{x + 1} = x$$
    и
    $$\sqrt{x + 1} \geq 0$$
    то
    $$x \geq 0$$
    или
    $$0 \leq x$$
    $$x < \infty$$
    $$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
    =
    $$\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
    подставляем в выражение
    $$\sqrt{x + 1} < x$$
    $$\sqrt{1 + - \frac{1}{10} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}} < - \frac{1}{10} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
         ___________         ___
        /       ___    2   \/ 5 
       /  7   \/ 5   < - + -----
      /   - + -----    5     2  
    \/    5     2      

    но
         ___________         ___
        /       ___    2   \/ 5 
       /  7   \/ 5   > - + -----
      /   - + -----    5     2  
    \/    5     2      

    Тогда
    $$x < \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x > \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
             _____  
            /
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       /              ___    \
       |        1   \/ 5     |
    And|x < oo, - + ----- < x|
       \        2     2      /
    $$x < \infty \wedge \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} < x$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
           ___     
     1   \/ 5      
    (- + -----, oo)
     2     2       
    $$x \in \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \infty\right)$$