4^x+4^(-x)>=10/3 (неравенство)

В неравенстве неизвестная


    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 4^x+4^(-x)>=10/3 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
     x    -x        
    4  + 4   >= 10/3
    $$4^{x} + 4^{- x} \geq \frac{10}{3}$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$4^{x} + 4^{- x} \geq \frac{10}{3}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$4^{x} + 4^{- x} = \frac{10}{3}$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$4^{x} + 4^{- x} = \frac{10}{3}$$
    или
    $$4^{x} + 4^{- x} - \frac{10}{3} = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$$
    получим
    $$v - \frac{10}{3} + \frac{1}{v} = 0$$
    или
    $$v - \frac{10}{3} + \frac{1}{v} = 0$$
    делаем обратную замену
    $$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = v$$
    или
    $$x = - \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (4 \right )}}$$
    $$x_{1} = - \frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}}$$
    $$x_{2} = \frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}}$$
    $$x_{1} = - \frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}}$$
    $$x_{2} = \frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}}$$
    $$x_{2} = \frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
        log(3)    1 
    - --------- - --
           1      10
      2*log (2)     

    =
    $$- \frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$4^{x} + 4^{- x} \geq \frac{10}{3}$$
         log(3)    1      /    log(3)    1 \        
     - --------- - --    -|- --------- - --|        
            1      10     |       1      10|        
       2*log (2)          \  2*log (2)     /        
    4                 + 4                    >= 10/3

       1     log(3)     1     log(3)         
     - -- - --------    -- + --------        
       10   2*log(2)    10   2*log(2) >= 10/3
    4                + 4                     
            

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq - \frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------•-------•-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq - \frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}}$$
    $$x \geq \frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
      /   /     -log(3)          \     / log(3)              \\
    Or|And|x <= --------, -oo < x|, And|-------- <= x, x < oo||
      \   \     2*log(2)         /     \2*log(2)             //
    $$\left(x \leq - \frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2 [src]
          -log(3)       log(3)      
    (-oo, --------] U [--------, oo)
          2*log(2)     2*log(2)     
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}}\right] \cup \left[\frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}}, \infty\right)$$
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: