2^(x^2)*1/(4^x)>3 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 2^(x^2)*1/(4^x)>3 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     / 2\    
     \x /    
    2        
    ----- > 3
       x     
      4      
    $$\frac{2^{x^{2}}}{4^{x}} > 3$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{2^{x^{2}}}{4^{x}} > 3$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{2^{x^{2}}}{4^{x}} = 3$$
    Решаем:
    $$x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{\log{\left (6 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{\log{\left (6 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}} + 1$$
    $$x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{\log{\left (6 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{\log{\left (6 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}} + 1$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{\log{\left (6 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}} + 1$$
    $$x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{\log{\left (6 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
          ________     
        \/ log(6)    1 
    1 - ---------- - --
          ________   10
        \/ log(2)      

    =
    $$- \frac{\sqrt{\log{\left (6 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}} + \frac{9}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{2^{x^{2}}}{4^{x}} > 3$$
     /                     2\    
     |/      ________     \ |    
     ||    \/ log(6)    1 | |    
     ||1 - ---------- - --| |    
     ||      ________   10| |    
     \\    \/ log(2)      / /    
    2                            
    ------------------------- > 3
                           1     
     /       ________     \      
     |     \/ log(6)    1 |      
     | 1 - ---------- - --|      
     |       ________   10|      
     |     \/ log(2)      |      
     \4                   /      

     /                 2\                       
     |/       ________\ |           ________    
     ||9    \/ log(6) | |    9    \/ log(6)     
     ||-- - ----------| |  - -- + ---------- > 3
     ||10     ________| |    10     ________    
     \\     \/ log(2) / /         \/ log(2)     
    2                    *4                     

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \frac{\sqrt{\log{\left (6 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}} + 1$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \frac{\sqrt{\log{\left (6 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}} + 1$$
    $$x > 1 + \frac{\sqrt{\log{\left (6 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /                   ________\     /              ________    \\
      |   |                 \/ log(6) |     |            \/ log(6)     ||
    Or|And|-oo < x, x < 1 - ----------|, And|x < oo, 1 + ---------- < x||
      |   |                   ________|     |              ________    ||
      \   \                 \/ log(2) /     \            \/ log(2)     //
    $$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\sqrt{\log{\left (6 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}} + 1\right) \vee \left(x < \infty \wedge 1 + \frac{\sqrt{\log{\left (6 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                ________           ________     
              \/ log(6)          \/ log(6)      
    (-oo, 1 - ----------) U (1 + ----------, oo)
                ________           ________     
              \/ log(2)          \/ log(2)      
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{\log{\left (6 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}} + 1\right) \cup \left(1 + \frac{\sqrt{\log{\left (6 \right )}}}{\sqrt{\log{\left (2 \right )}}}, \infty\right)$$