Подробное решение
Дано неравенство:
$$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (3 x \right )} - 1\right) \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (3 x \right )} - 1\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (3 x \right )} - 1\right) = 0$$
преобразуем
$$- \left(4 x - 3\right) \left(3 \log{\left (x \right )} - 1 + \log{\left (27 \right )}\right) = 0$$
$$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (x \right )} - 1 + 3 \log{\left (3 \right )}\right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (x \right )}$$
Дано уравнение:
(3 - 4*x)*(-1 + 3*w + 3*log(3)) = 0
Раскрываем выражения:
-3 + 4*x + 9*w + 9*log(3) - 12*w*x - 12*x*log(3) = 0
Сокращаем, получаем:
-3 + 4*x + 9*w + 9*log(3) - 12*w*x - 12*x*log(3) = 0
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
-3 + 4*x + 9*w + 9*log3 - 12*w*x - 12*x*log3 = 0
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
4*x + 9*w + 9*log(3) - 12*w*x - 12*x*log(3) = 3
Разделим обе части ур-ния на (4*x + 9*w + 9*log(3) - 12*w*x - 12*x*log(3))/w
w = 3 / ((4*x + 9*w + 9*log(3) - 12*w*x - 12*x*log(3))/w)
Получим ответ: w = 1/3 - log(3)
делаем обратную замену
$$\log{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\log{\left (x \right )} = w$$
$$\log{\left (x \right )} = w$$
Это уравнение вида:
log(v)=p
По определению log
v=e^p
тогда
w
-
1
x = e
упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
$$x_{2} = \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
$$x_{2} = \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
Данные корни
$$x_{2} = \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
подставляем в выражение
$$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (3 x \right )} - 1\right) \geq 0$$
/ / / 1/3 \\ \ / / 1/3 \\
| | |e 1 || | | |e 1 ||
|3*log|3*|---- - --|| - 1|*|3 - 4*|---- - --|| >= 0
\ \ \ 3 10// / \ \ 3 10//
/ 1/3\
/ / 3 1/3\\ |17 4*e |
|-1 + 3*log|- -- + e ||*|-- - ------| >= 0
\ \ 10 // \5 3 /
но
/ 1/3\
/ / 3 1/3\\ |17 4*e |
|-1 + 3*log|- -- + e ||*|-- - ------| < 0
\ \ 10 // \5 3 /
Тогда
$$x \leq \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3} \wedge x \leq \frac{3}{4}$$
_____
/ \
-------•-------•-------
x2 x1