(3*log(3*x)-1)*(3-4*x)>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (3*log(3*x)-1)*(3-4*x)>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

(3*log(3*x) - 1)*(3 - 4*x) >= 0

$$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (3 x \right )} - 1\right) \geq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (3 x \right )} - 1\right) \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (3 x \right )} - 1\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (3 x \right )} - 1\right) = 0$$
преобразуем
$$- \left(4 x - 3\right) \left(3 \log{\left (x \right )} - 1 + \log{\left (27 \right )}\right) = 0$$
$$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (x \right )} - 1 + 3 \log{\left (3 \right )}\right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (x \right )}$$
Дано уравнение:

(3 - 4*x)*(-1 + 3*w + 3*log(3)) = 0

Раскрываем выражения:

-3 + 4*x + 9*w + 9*log(3) - 12*w*x - 12*x*log(3) = 0

Сокращаем, получаем:

-3 + 4*x + 9*w + 9*log(3) - 12*w*x - 12*x*log(3) = 0

Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-3 + 4*x + 9*w + 9*log3 - 12*w*x - 12*x*log3 = 0

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:

4*x + 9*w + 9*log(3) - 12*w*x - 12*x*log(3) = 3

Разделим обе части ур-ния на (4*x + 9*w + 9*log(3) - 12*w*x - 12*x*log(3))/w

w = 3 / ((4*x + 9*w + 9*log(3) - 12*w*x - 12*x*log(3))/w)

Получим ответ: w = 1/3 - log(3)
делаем обратную замену
$$\log{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\log{\left (x \right )} = w$$
$$\log{\left (x \right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

     w
     -
     1
x = e 

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
$$x_{2} = \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
$$x_{2} = \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
Данные корни
$$x_{2} = \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
подставляем в выражение
$$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (3 x \right )} - 1\right) \geq 0$$

/     /  / 1/3     \\    \ /      / 1/3     \\     
|     |  |e      1 ||    | |      |e      1 ||     
|3*log|3*|---- - --|| - 1|*|3 - 4*|---- - --|| >= 0
\     \  \ 3     10//    / \      \ 3     10//     

                          /        1/3\     
/          /  3     1/3\\ |17   4*e   |     
|-1 + 3*log|- -- + e   ||*|-- - ------| >= 0
\          \  10       // \5      3   /     
     

но

                          /        1/3\    
/          /  3     1/3\\ |17   4*e   |    
|-1 + 3*log|- -- + e   ||*|-- - ------| < 0
\          \  10       // \5      3   /    
    

Тогда
$$x \leq \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3} \wedge x \leq \frac{3}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1

Быстрый ответ

   /           1/3     \
   |          e        |
And|x <= 3/4, ---- <= x|
   \           3       /

$$x \leq \frac{3}{4} \wedge \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3} \leq x$$

Быстрый ответ 2

  1/3      
 e         
[----, 3/4]
  3        

$$x \in \left[\frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}, \frac{3}{4}\right]$$