Решите неравенство (3*log(3*x)-1)*(3-4*x)>=0 ((3 умножить на логарифм от (3 умножить на х) минус 1) умножить на (3 минус 4 умножить на х) больше или равно 0) - Укажите множество решений неравенства подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

(3*log(3*x)-1)*(3-4*x)>=0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: (3*log(3*x)-1)*(3-4*x)>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
    (3*log(3*x) - 1)*(3 - 4*x) >= 0
    $$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (3 x \right )} - 1\right) \geq 0$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (3 x \right )} - 1\right) \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (3 x \right )} - 1\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (3 x \right )} - 1\right) = 0$$
    преобразуем
    $$- \left(4 x - 3\right) \left(3 \log{\left (x \right )} - 1 + \log{\left (27 \right )}\right) = 0$$
    $$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (x \right )} - 1 + 3 \log{\left (3 \right )}\right) = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (x \right )}$$
    Дано уравнение:
    (3 - 4*x)*(-1 + 3*w + 3*log(3)) = 0

    Раскрываем выражения:
    -3 + 4*x + 9*w + 9*log(3) - 12*w*x - 12*x*log(3) = 0

    Сокращаем, получаем:
    -3 + 4*x + 9*w + 9*log(3) - 12*w*x - 12*x*log(3) = 0

    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    -3 + 4*x + 9*w + 9*log3 - 12*w*x - 12*x*log3 = 0

    Переносим свободные слагаемые (без w)
    из левой части в правую, получим:
    4*x + 9*w + 9*log(3) - 12*w*x - 12*x*log(3) = 3

    Разделим обе части ур-ния на (4*x + 9*w + 9*log(3) - 12*w*x - 12*x*log(3))/w
    w = 3 / ((4*x + 9*w + 9*log(3) - 12*w*x - 12*x*log(3))/w)

    Получим ответ: w = 1/3 - log(3)
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    Это уравнение вида:
    log(v)=p

    По определению log
    v=e^p

    тогда
         w
         -
         1
    x = e 

    упрощаем
    $$x = e^{w}$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = \frac{3}{4}$$
    $$x_{2} = \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
    $$x_{1} = \frac{3}{4}$$
    $$x_{2} = \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
    $$x_{1} = \frac{3}{4}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(- 4 x + 3\right) \left(3 \log{\left (3 x \right )} - 1\right) \geq 0$$
    /     /  / 1/3     \\    \ /      / 1/3     \\     
    |     |  |e      1 ||    | |      |e      1 ||     
    |3*log|3*|---- - --|| - 1|*|3 - 4*|---- - --|| >= 0
    \     \  \ 3     10//    / \      \ 3     10//     

                              /        1/3\     
    /          /  3     1/3\\ |17   4*e   |     
    |-1 + 3*log|- -- + e   ||*|-- - ------| >= 0
    \          \  10       // \5      3   /     
         

    но
                              /        1/3\    
    /          /  3     1/3\\ |17   4*e   |    
    |-1 + 3*log|- -- + e   ||*|-- - ------| < 0
    \          \  10       // \5      3   /    
        

    Тогда
    $$x \leq \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3} \wedge x \leq \frac{3}{4}$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
       /           1/3     \
       |          e        |
    And|x <= 3/4, ---- <= x|
       \           3       /
    $$x \leq \frac{3}{4} \wedge \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3} \leq x$$
    Быстрый ответ 2 [src]
      1/3      
     e         
    [----, 3/4]
      3        
    $$x \in \left[\frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}, \frac{3}{4}\right]$$
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: