3^x-1>1/9 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 3^x-1>1/9 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x          
3  - 1 > 1/9

$$3^{x} - 1 > \frac{1}{9}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$3^{x} - 1 > \frac{1}{9}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3^{x} - 1 = \frac{1}{9}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$3^{x} - 1 = \frac{1}{9}$$
или
$$3^{x} - 1 - \frac{1}{9} = 0$$
или
$$3^{x} = \frac{10}{9}$$
или
$$3^{x} = \frac{10}{9}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$v - \frac{10}{9} = 0$$
или
$$v - \frac{10}{9} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{10}{9}$$
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (3 \right )}}$$
$$x_{1} = \frac{10}{9}$$
$$x_{1} = \frac{10}{9}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{10}{9}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{91}{90}$$
=
$$\frac{91}{90}$$
подставляем в выражение
$$3^{x} - 1 > \frac{1}{9}$$
$$-1 + 3^{\frac{91}{90}} > \frac{1}{9}$$

       90___      
-1 + 3*\/ 3  > 1/9
      

значит решение неравенства будет при:
$$x < \frac{10}{9}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /        -log(9) + log(10)    \
And|x < oo, ----------------- < x|
   \              log(3)         /

$$x < \infty \wedge \frac{1}{\log{\left (3 \right )}} \left(- \log{\left (9 \right )} + \log{\left (10 \right )}\right) < x$$

Быстрый ответ 2

 -log(9) + log(10)     
(-----------------, oo)
       log(3)          

$$x \in \left(\frac{1}{\log{\left (3 \right )}} \left(- \log{\left (9 \right )} + \log{\left (10 \right )}\right), \infty\right)$$