sin(2*x)<2*cos(2*x) (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: sin(2*x)<2*cos(2*x) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    sin(2*x) < 2*cos(2*x)
    $$\sin{\left (2 x \right )} < 2 \cos{\left (2 x \right )}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\sin{\left (2 x \right )} < 2 \cos{\left (2 x \right )}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sin{\left (2 x \right )} = 2 \cos{\left (2 x \right )}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (2 x \right )} = 2 \cos{\left (2 x \right )}$$
    преобразуем:
    $$\frac{\sin{\left (2 x \right )}}{\cos{\left (2 x \right )}} = 2$$
    или
    $$\tan{\left (2 x \right )} = 2$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$2 x = \pi n + \operatorname{atan}{\left (-2 \right )}$$
    Или
    $$2 x = \pi n - \operatorname{atan}{\left (2 \right )}$$
    , где n - любое целое число
    Разделим обе части полученного ур-ния на
    $$2$$
    $$x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 \right )}$$
    $$x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 \right )}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 \right )}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
      atan(2)   pi*n   1 
    - ------- + ---- - --
         2       2     10

    =
    $$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 \right )} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\sin{\left (2 x \right )} < 2 \cos{\left (2 x \right )}$$
       /  /  atan(2)   pi*n   1 \\        /  /  atan(2)   pi*n   1 \\
    sin|2*|- ------- + ---- - --|| < 2*cos|2*|- ------- + ---- - --||
       \  \     2       2     10//        \  \     2       2     10//

    -sin(1/5 - pi*n + atan(2)) < 2*cos(1/5 - pi*n + atan(2))

    но
    -sin(1/5 - pi*n + atan(2)) > 2*cos(1/5 - pi*n + atan(2))

    Тогда
    $$x < \frac{\pi n}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 \right )}$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x > \frac{\pi n}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 \right )}$$
             _____  
            /
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       /         /      ___\       /      ___\    \
       |         |1   \/ 5 |       |1   \/ 5 |    |
    And|x < -atan|- - -----|, -atan|- + -----| < x|
       \         \2     2  /       \2     2  /    /
    $$x < - \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right )} \wedge - \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )} < x$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
          /      ___\       /      ___\ 
          |1   \/ 5 |       |1   \/ 5 | 
    (-atan|- + -----|, -atan|- - -----|)
          \2     2  /       \2     2  / 
    $$x \in \left(- \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}, - \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right )}\right)$$