log(1/2)*1/log(x-2)<1 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: log(1/2)*1/log(x-2)<1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     log(1/2)     
    ---------- < 1
    log(x - 2)    
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (x - 2 \right )}} < 1$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (x - 2 \right )}} < 1$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (x - 2 \right )}} = 1$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (x - 2 \right )}} = 1$$
    преобразуем
    $$-1 - \frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (x - 2 \right )}} = 0$$
    $$-1 + \frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (x - 2 \right )}} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (x - 2 \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$-1 + \frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (x - 2 \right )}} = 0$$
    Используем правило пропорций:
    Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
    В нашем случае
    a1 = -log(2)

    b1 = log(-2 + x)

    a2 = 1

    b2 = 1

    зн. получим ур-ние
    $$- \log{\left (2 \right )} = \log{\left (x - 2 \right )}$$
    $$- \log{\left (2 \right )} = \log{\left (x - 2 \right )}$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    -log2 = log(-2 + x)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    -log2 = log-2+x

    Данное ур-ние не имеет решений
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (x - 2 \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\log{\left (x - 2 \right )} = w$$
    $$\log{\left (x - 2 \right )} = w$$
    Это уравнение вида:
    log(v)=p

    По определению log
    v=e^p

    тогда
             w
             -
             1
    x - 2 = e 

    упрощаем
    $$x - 2 = e^{w}$$
    $$x = e^{w} + 2$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = \frac{5}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{5}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{5}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{12}{5}$$
    =
    $$\frac{12}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (x - 2 \right )}} < 1$$
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (-2 + \frac{12}{5} \right )}} < 1$$
        -log(2)         
    ---------------- < 1
    -log(5) + log(2)    

    значит решение неравенства будет при:
    $$x < \frac{5}{2}$$
     _____          
          \    
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    And(3 < x, x < oo)
    $$3 < x \wedge x < \infty$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (3, oo)
    $$x \in \left(3, \infty\right)$$