(x^2-5)*1/(5^x-125)>=0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: (x^2-5)*1/(5^x-125)>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      2          
     x  - 5      
    -------- >= 0
     x           
    5  - 125     
    $$\frac{x^{2} - 5}{5^{x} - 125} \geq 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{x^{2} - 5}{5^{x} - 125} \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{x^{2} - 5}{5^{x} - 125} = 0$$
    Решаем:
    $$x_{1} = - \sqrt{5}$$
    $$x_{2} = \sqrt{5}$$
    $$x_{1} = - \sqrt{5}$$
    $$x_{2} = \sqrt{5}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \sqrt{5}$$
    $$x_{2} = \sqrt{5}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
        ___   1 
    - \/ 5  - --
              10

    =
    $$- \sqrt{5} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{x^{2} - 5}{5^{x} - 125} \geq 0$$
                   2           
     /    ___   1 \            
     |- \/ 5  - --|  - 5       
     \          10/            
    ---------------------- >= 0
                         1     
    /     ___   1       \      
    | - \/ 5  - --      |      
    |           10      |      
    \5             - 125/      

                       2     
         /  1      ___\      
    -5 + |- -- - \/ 5 |      
         \  10        /      
    -------------------- >= 0
              1      ___     
            - -- - \/ 5      
              10             
    -125 + 5                 

    но
                       2    
         /  1      ___\     
    -5 + |- -- - \/ 5 |     
         \  10        /     
    -------------------- < 0
              1      ___    
            - -- - \/ 5     
              10            
    -125 + 5                

    Тогда
    $$x \leq - \sqrt{5}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq - \sqrt{5} \wedge x \leq \sqrt{5}$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /   ___              ___\                    \
    Or\And\-\/ 5  <= x, x <= \/ 5 /, And(3 < x, x < oo)/
    $$\left(- \sqrt{5} \leq x \wedge x \leq \sqrt{5}\right) \vee \left(3 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
        ___    ___           
    [-\/ 5 , \/ 5 ] U (3, oo)
    $$x \in \left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right] \cup \left(3, \infty\right)$$