4*x+4*x^2+4>x^2-5*x^2+10 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 4*x+4*x^2+4>x^2-5*x^2+10 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
             2        2      2     
    4*x + 4*x  + 4 > x  - 5*x  + 10
    $$4 x^{2} + 4 x + 4 > - 5 x^{2} + x^{2} + 10$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$4 x^{2} + 4 x + 4 > - 5 x^{2} + x^{2} + 10$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$4 x^{2} + 4 x + 4 = - 5 x^{2} + x^{2} + 10$$
    Решаем:
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$4 x^{2} + 4 x + 4 = - 5 x^{2} + x^{2} + 10$$
    в
    $$- x^{2} - - 5 x^{2} - 10 + 4 x^{2} + 4 x + 4 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 8$$
    $$b = 4$$
    $$c = -6$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (4)^2 - 4 * (8) * (-6) = 208

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{13}}{4}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{13}}{4} - \frac{1}{4}$$
    $$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{13}}{4}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{13}}{4} - \frac{1}{4}$$
    $$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{13}}{4}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{13}}{4} - \frac{1}{4}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{13}}{4} - \frac{1}{4}$$
    $$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{13}}{4}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
            ____     
      1   \/ 13    1 
    - - - ------ - --
      4     4      10

    =
    $$- \frac{\sqrt{13}}{4} - \frac{7}{20}$$
    подставляем в выражение
    $$4 x^{2} + 4 x + 4 > - 5 x^{2} + x^{2} + 10$$
                                                 2                          2                        2     
      /        ____     \     /        ____     \        /        ____     \      /        ____     \      
      |  1   \/ 13    1 |     |  1   \/ 13    1 |        |  1   \/ 13    1 |      |  1   \/ 13    1 |      
    4*|- - - ------ - --| + 4*|- - - ------ - --|  + 4 > |- - - ------ - --|  - 5*|- - - ------ - --|  + 10
      \  4     4      10/     \  4     4      10/        \  4     4      10/      \  4     4      10/      

                                   2                         2
                    /         ____\           /         ____\ 
    13     ____     |  7    \/ 13 |  >        |  7    \/ 13 | 
    -- - \/ 13  + 4*|- -- - ------|    10 - 4*|- -- - ------| 
    5               \  20     4   /           \  20     4   / 

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \frac{\sqrt{13}}{4} - \frac{1}{4}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \frac{\sqrt{13}}{4} - \frac{1}{4}$$
    $$x > - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{13}}{4}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /                     ____\     /                ____    \\
      |   |               1   \/ 13 |     |          1   \/ 13     ||
    Or|And|-oo < x, x < - - - ------|, And|x < oo, - - + ------ < x||
      \   \               4     4   /     \          4     4       //
    $$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\sqrt{13}}{4} - \frac{1}{4}\right) \vee \left(x < \infty \wedge - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{13}}{4} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                  ____             ____     
            1   \/ 13        1   \/ 13      
    (-oo, - - - ------) U (- - + ------, oo)
            4     4          4     4        
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{13}}{4} - \frac{1}{4}\right) \cup \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{13}}{4}, \infty\right)$$