2*cos(5*x)-1>=0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 2*cos(5*x)-1>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    2*cos(5*x) - 1 >= 0
    $$2 \cos{\left (5 x \right )} - 1 \geq 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$2 \cos{\left (5 x \right )} - 1 \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$2 \cos{\left (5 x \right )} - 1 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$2 \cos{\left (5 x \right )} - 1 = 0$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Перенесём -1 в правую часть ур-ния

    с изменением знака при -1

    Получим:
    $$2 \cos{\left (5 x \right )} = 1$$
    Разделим обе части ур-ния на 2

    Ур-ние превратится в
    $$\cos{\left (5 x \right )} = \frac{1}{2}$$
    Это ур-ние преобразуется в
    $$5 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
    $$5 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
    Или
    $$5 x = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
    $$5 x = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
    , где n - любое целое число
    Разделим обе части полученного ур-ния на
    $$5$$
    $$x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15}$$
    $$x_{2} = \frac{\pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}$$
    $$x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15}$$
    $$x_{2} = \frac{\pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15}$$
    $$x_{2} = \frac{\pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15} + - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{\pi n}{5} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{15}$$
    подставляем в выражение
    $$2 \cos{\left (5 x \right )} - 1 \geq 0$$
    $$2 \cos{\left (5 \left(\frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15} + - \frac{1}{10}\right) \right )} - 1 \geq 0$$
              /  1   pi       \     
    -1 + 2*cos|- - + -- + pi*n| >= 0
              \  2   3        /     

    но
              /  1   pi       \    
    -1 + 2*cos|- - + -- + pi*n| < 0
              \  2   3        /    

    Тогда
    $$x \leq \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15} \wedge x \leq \frac{\pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /     pi         \      pi\
    Or|And|x <= --, -oo < x|, x = --|
      \   \     15         /      3 /
    $$\left(x \leq \frac{\pi}{15} \wedge -\infty < x\right) \vee x = \frac{\pi}{3}$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
          pi     pi 
    (-oo, --] U {--}
          15     3  
    $$x \in \left(-\infty, \frac{\pi}{15}\right] \cup \left\{\frac{\pi}{3}\right\}$$