2*e^(2*x)-1>0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 2*e^(2*x)-1>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       2*x        
    2*E    - 1 > 0
    $$2 e^{2 x} - 1 > 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$2 e^{2 x} - 1 > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$2 e^{2 x} - 1 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$2 e^{2 x} - 1 = 0$$
    или
    $$2 e^{2 x} - 1 = 0$$
    или
    $$2 e^{2 x} = 1$$
    или
    $$e^{2 x} = \frac{1}{2}$$
    - это простейшее показательное ур-ние
    Сделаем замену
    $$v = e^{2 x}$$
    получим
    $$v - \frac{1}{2} = 0$$
    или
    $$v - \frac{1}{2} = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без v)
    из левой части в правую, получим:
    $$v = \frac{1}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$e^{2 x} = v$$
    или
    $$x = \frac{1}{2} \log{\left (v \right )}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{1}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{2}{5}$$
    =
    $$\frac{2}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$2 e^{2 x} - 1 > 0$$
    $$-1 + 2 e^{\frac{4}{5} 1} > 0$$
            4/5    
    -1 + 2*e    > 0
        

    значит решение неравенства будет при:
    $$x < \frac{1}{2}$$
     _____          
          \    
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       /        -log(2)     \
    And|x < oo, -------- < x|
       \           2        /
    $$x < \infty \wedge - \frac{1}{2} \log{\left (2 \right )} < x$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     -log(2)      
    (--------, oo)
        2         
    $$x \in \left(- \frac{1}{2} \log{\left (2 \right )}, \infty\right)$$