2*cos(x)^2-4<0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 2*cos(x)^2-4<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
         2           
    2*cos (x) - 4 < 0
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} - 4 < 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} - 4 < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} - 4 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} - 4 = 0$$
    преобразуем
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} - 4 = 0$$
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} - 4 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \cos{\left (x \right )}$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 2$$
    $$b = 0$$
    $$c = -4$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (0)^2 - 4 * (2) * (-4) = 32

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = \sqrt{2}$$
    $$w_{2} = - \sqrt{2}$$
    делаем обратную замену
    $$\cos{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\cos{\left (x \right )} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
    Или
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\sqrt{2} \right )}$$
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\sqrt{2} \right )}$$
    $$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )}$$
    $$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \sqrt{2} \right )}$$
    $$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \sqrt{2} \right )}$$
    $$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} - \pi$$
    $$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\sqrt{2} \right )}$$
    $$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\sqrt{2} \right )}$$
    $$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )} - \pi$$
    $$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \sqrt{2} \right )}$$
    $$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \sqrt{2} \right )}$$
    $$x_{1} = 2 \pi - \operatorname{acos}{\left (- \sqrt{2} \right )}$$
    $$x_{2} = 2 \pi - \operatorname{acos}{\left (\sqrt{2} \right )}$$
    $$x_{3} = \operatorname{acos}{\left (- \sqrt{2} \right )}$$
    $$x_{4} = \operatorname{acos}{\left (\sqrt{2} \right )}$$
    Исключаем комплексные решения:
    Данное ур-ние не имеет решений,
    значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
    проверим
    подставляем произвольную точку, например
    x0 = 0

    $$-4 + 2 \cos^{2}{\left (0 \right )} < 0$$
    -2 < 0

    зн. неравенство выполняется всегда
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    And(-oo < x, x < oo)
    $$-\infty < x \wedge x < \infty$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-oo, oo)
    $$x \in \left(-\infty, \infty\right)$$