x*x+8*x+7*x*x/4+4*x+1<0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: x*x+8*x+7*x*x/4+4*x+1<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                7*x*x              
    x*x + 8*x + ----- + 4*x + 1 < 0
                  4                
    $$4 x + \frac{7 x^{2}}{4} 1 + x x + 8 x + 1 < 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$4 x + \frac{7 x^{2}}{4} 1 + x x + 8 x + 1 < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$4 x + \frac{7 x^{2}}{4} 1 + x x + 8 x + 1 = 0$$
    Решаем:
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = \frac{11}{4}$$
    $$b = 12$$
    $$c = 1$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (12)^2 - 4 * (11/4) * (1) = 133

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = - \frac{24}{11} + \frac{2 \sqrt{133}}{11}$$
    $$x_{2} = - \frac{24}{11} - \frac{2 \sqrt{133}}{11}$$
    $$x_{1} = - \frac{24}{11} + \frac{2 \sqrt{133}}{11}$$
    $$x_{2} = - \frac{24}{11} - \frac{2 \sqrt{133}}{11}$$
    $$x_{1} = - \frac{24}{11} + \frac{2 \sqrt{133}}{11}$$
    $$x_{2} = - \frac{24}{11} - \frac{2 \sqrt{133}}{11}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{24}{11} - \frac{2 \sqrt{133}}{11}$$
    $$x_{1} = - \frac{24}{11} + \frac{2 \sqrt{133}}{11}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
               _____     
      24   2*\/ 133    1 
    - -- - --------- - --
      11       11      10

    =
    $$- \frac{251}{110} - \frac{2 \sqrt{133}}{11}$$
    подставляем в выражение
    $$4 x + \frac{7 x^{2}}{4} 1 + x x + 8 x + 1 < 0$$
                                                                                    /           _____     \ /           _____     \                                    
                                                                                    |  24   2*\/ 133    1 | |  24   2*\/ 133    1 |                                    
    /           _____     \ /           _____     \     /           _____     \   7*|- -- - --------- - --|*|- -- - --------- - --|     /           _____     \        
    |  24   2*\/ 133    1 | |  24   2*\/ 133    1 |     |  24   2*\/ 133    1 |     \  11       11      10/ \  11       11      10/     |  24   2*\/ 133    1 |        
    |- -- - --------- - --|*|- -- - --------- - --| + 8*|- -- - --------- - --| + ------------------------------------------------- + 4*|- -- - --------- - --| + 1 < 0
    \  11       11      10/ \  11       11      10/     \  11       11      10/                            1                            \  11       11      10/        
                                                                                                          4                                                            

                                                 /              _____\ /            _____\    
                                2                |  1757   14*\/ 133 | |  251   2*\/ 133 |    
             /            _____\         _____   |- ---- - ----------|*|- --- - ---------|    
      1451   |  251   2*\/ 133 |    24*\/ 133    \  110        11    / \  110       11   / < 0
    - ---- + |- --- - ---------|  - ---------- + -----------------------------------------    
       55    \  110       11   /        11                           4                        
        

    но
                                                 /              _____\ /            _____\    
                                2                |  1757   14*\/ 133 | |  251   2*\/ 133 |    
             /            _____\         _____   |- ---- - ----------|*|- --- - ---------|    
      1451   |  251   2*\/ 133 |    24*\/ 133    \  110        11    / \  110       11   / > 0
    - ---- + |- --- - ---------|  - ---------- + -----------------------------------------    
       55    \  110       11   /        11                           4                        
        

    Тогда
    $$x < - \frac{24}{11} - \frac{2 \sqrt{133}}{11}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > - \frac{24}{11} - \frac{2 \sqrt{133}}{11} \wedge x < - \frac{24}{11} + \frac{2 \sqrt{133}}{11}$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       /               _____             _____    \
       |      24   2*\/ 133     24   2*\/ 133     |
    And|x < - -- + ---------, - -- - --------- < x|
       \      11       11       11       11       /
    $$x < - \frac{24}{11} + \frac{2 \sqrt{133}}{11} \wedge - \frac{24}{11} - \frac{2 \sqrt{133}}{11} < x$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                _____             _____ 
       24   2*\/ 133     24   2*\/ 133  
    (- -- - ---------, - -- + ---------)
       11       11       11       11    
    $$x \in \left(- \frac{24}{11} - \frac{2 \sqrt{133}}{11}, - \frac{24}{11} + \frac{2 \sqrt{133}}{11}\right)$$