(x+8)*(x-1)*(x-1)*(x-5)<0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: (x+8)*(x-1)*(x-1)*(x-5)<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (x + 8)*(x - 1)*(x - 1)*(x - 5) < 0
    $$\left(x - 1\right) \left(x + 8\right) \left(x - 1\right) \left(x - 5\right) < 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(x - 1\right) \left(x + 8\right) \left(x - 1\right) \left(x - 5\right) < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(x - 1\right) \left(x + 8\right) \left(x - 1\right) \left(x - 5\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\left(x - 1\right) \left(x + 8\right) \left(x - 1\right) \left(x - 5\right) = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x - 5 = 0$$
    $$x + 8 = 0$$
    $$x - 1 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x - 5 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = 5$$
    Получим ответ: x1 = 5
    2.
    $$x + 8 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -8$$
    Получим ответ: x2 = -8
    3.
    $$x - 1 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = 1$$
    Получим ответ: x3 = 1
    $$x_{1} = 5$$
    $$x_{2} = -8$$
    $$x_{3} = 1$$
    $$x_{1} = 5$$
    $$x_{2} = -8$$
    $$x_{3} = 1$$
    Данные корни
    $$x_{2} = -8$$
    $$x_{3} = 1$$
    $$x_{1} = 5$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{81}{10}$$
    =
    $$- \frac{81}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(x - 1\right) \left(x + 8\right) \left(x - 1\right) \left(x - 5\right) < 0$$
    $$\left(- \frac{81}{10} - 1\right) \left(- \frac{81}{10} + 8\right) \left(- \frac{81}{10} - 1\right) \left(- \frac{81}{10} - 5\right) < 0$$
    1084811    
    ------- < 0
     10000     

    но
    1084811    
    ------- > 0
     10000     

    Тогда
    $$x < -8$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -8 \wedge x < 1$$
             _____           _____  
            /     \         /
    -------ο-------ο-------ο-------
           x2      x3      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x > -8 \wedge x < 1$$
    $$x > 5$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-8 < x, x < 1), And(1 < x, x < 5))
    $$\left(-8 < x \wedge x < 1\right) \vee \left(1 < x \wedge x < 5\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-8, 1) U (1, 5)
    $$x \in \left(-8, 1\right) \cup \left(1, 5\right)$$