log(x)*1/log(512)<=log(2)*1/log(64*1/x) (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: log(x)*1/log(512)<=log(2)*1/log(64*1/x) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     log(x)      log(2)
    -------- <= -------
    log(512)       /64\
                log|--|
                   \x /
    $$\frac{\log{\left (x \right )}}{\log{\left (512 \right )}} \leq \frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\frac{64}{x} \right )}}$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\log{\left (x \right )}}{\log{\left (512 \right )}} \leq \frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\frac{64}{x} \right )}}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\log{\left (x \right )}}{\log{\left (512 \right )}} = \frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\frac{64}{x} \right )}}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{\log{\left (x \right )}}{\log{\left (512 \right )}} = \frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\frac{64}{x} \right )}}$$
    преобразуем
    $$\frac{\left(\log{\left (x \right )} - \log{\left (64 \right )}\right) \log{\left (x \right )} + \log{\left (512^{\log{\left (2 \right )}} \right )}}{\left(\log{\left (x \right )} - \log{\left (64 \right )}\right) \log{\left (512 \right )}} = 0$$
    $$\frac{\log{\left (x \right )}}{\log{\left (512 \right )}} - \frac{\log{\left (2 \right )}}{- \log{\left (x \right )} + \log{\left (64 \right )}} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (x \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$\frac{w}{\log{\left (512 \right )}} - \frac{\log{\left (2 \right )}}{- w + \log{\left (64 \right )}} = 0$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
    log(512) и -w + log(64)
    получим:
    $$\left(\frac{w}{\log{\left (512 \right )}} - \frac{\log{\left (2 \right )}}{- w + \log{\left (64 \right )}}\right) \log{\left (512 \right )} = 0$$
    $$\frac{1}{w - \log{\left (64 \right )}} \left(w \left(w - \log{\left (64 \right )}\right) + \log{\left (512^{\log{\left (2 \right )}} \right )}\right) = 0$$
    $$\frac{1}{w - \log{\left (64 \right )}} \left(w \left(w - \log{\left (64 \right )}\right) + \log{\left (512^{\log{\left (2 \right )}} \right )}\right) \left(- w + \log{\left (64 \right )}\right) = 0 \left(- w + \log{\left (64 \right )}\right)$$
    $$- w^{2} + 6 w \log{\left (2 \right )} - 9 \log^{2}{\left (2 \right )} = 0$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -1$$
    $$b = 6 \log{\left (2 \right )}$$
    $$c = - 9 \log^{2}{\left (2 \right )}$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (6*log(2))^2 - 4 * (-1) * (-9*log(2)^2) = 0

    Т.к. D = 0, то корень всего один.
    w = -b/2a = -6*log(2)/2/(-1)

    $$w_{1} = 3 \log{\left (2 \right )}$$
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    Это уравнение вида:
    log(v)=p

    По определению log
    v=e^p

    тогда
         w
         -
         1
    x = e 

    упрощаем
    $$x = e^{w}$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = 8$$
    $$x_{1} = 8$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 8$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{79}{10}$$
    =
    $$\frac{79}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\log{\left (x \right )}}{\log{\left (512 \right )}} \leq \frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\frac{64}{x} \right )}}$$
    $$\frac{\log{\left (\frac{79}{10} \right )}}{\log{\left (512 \right )}} \leq \frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\frac{64}{\frac{79}{10}} \right )}}$$
    -log(10) + log(79)           log(2)      
    ------------------ <= -------------------
         log(512)         -log(79) + log(640)

    значит решение неравенства будет при:
    $$x \leq 8$$
     _____          
          \    
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    And(0 < x, x < 64)
    $$0 < x \wedge x < 64$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (0, 64)
    $$x \in \left(0, 64\right)$$