(x-2)^2*1/(x-1)*(x-3)>0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x-2)^2*1/(x-1)*(x-3)>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
           2            
    (x - 2)             
    --------*(x - 3) > 0
     x - 1              
    $$\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x - 1} \left(x - 3\right) > 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x - 1} \left(x - 3\right) > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x - 1} \left(x - 3\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x - 1} \left(x - 3\right) = 0$$
    знаменатель
    $$x - 1$$
    тогда
    x не равен 1

    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x - 3 = 0$$
    $$x - 2 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x - 3 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = 3$$
    Получим ответ: x1 = 3
    2.
    $$x - 2 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = 2$$
    Получим ответ: x2 = 2
    но
    x не равен 1

    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{2} = 2$$
    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{2} = 2$$
    Данные корни
    $$x_{2} = 2$$
    $$x_{1} = 3$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{19}{10}$$
    =
    $$\frac{19}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x - 1} \left(x - 3\right) > 0$$
    $$\frac{\left(-2 + \frac{19}{10}\right)^{2}}{-1 + \frac{19}{10}} \left(-3 + \frac{19}{10}\right) > 0$$
    -11     
    ---- > 0
    900     

    Тогда
    $$x < 2$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > 2 \wedge x < 3$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-oo < x, x < 1), And(3 < x, x < oo))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < 1\right) \vee \left(3 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, 1) U (3, oo)
    $$x \in \left(-\infty, 1\right) \cup \left(3, \infty\right)$$