2^3*x+6<=(1/4)^x-1 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 2^3*x+6<=(1/4)^x-1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
                -x    
    8*x + 6 <= 4   - 1
    $$8 x + 6 \leq -1 + \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$8 x + 6 \leq -1 + \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$8 x + 6 = -1 + \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$$
    Решаем:
    $$x_{1} = \frac{1}{8 \log{\left (2 \right )}} \left(- \log{\left (128 \right )} + 4 \operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (2^{\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}} \right )} \right )}\right)$$
    $$x_{1} = \frac{1}{8 \log{\left (2 \right )}} \left(- \log{\left (128 \right )} + 4 \operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (2^{\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}} \right )} \right )}\right)$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{1}{8 \log{\left (2 \right )}} \left(- \log{\left (128 \right )} + 4 \operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (2^{\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}} \right )} \right )}\right)$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
                          /   /  3/4\\     
                          |   | 2   ||     
                          |   | ----||     
                          |   |  2  ||     
    -log(128) + 4*LambertW\log\2    //   1 
    ---------------------------------- - --
                     1                   10
                8*log (2)                  

    =
    $$\frac{1}{8 \log{\left (2 \right )}} \left(- \log{\left (128 \right )} + 4 \operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (2^{\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}} \right )} \right )}\right) - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$8 x + 6 \leq -1 + \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$$
                                                                                /   /  3/4\\         
                                                                                |   | 2   ||         
                                                                                |   | ----||         
      /                      /   /  3/4\\     \                                 |   |  2  ||         
      |                      |   | 2   ||     |           -log(128) + 4*LambertW\log\2    //   1     
      |                      |   | ----||     |         - ---------------------------------- + --    
      |                      |   |  2  ||     |                            1                   10    
      |-log(128) + 4*LambertW\log\2    //   1 |                       8*log (2)                      
    8*|---------------------------------- - --| + 6 <= 4                                          - 1
      |                 1                   10|                                                      
      \            8*log (2)                  /                                                      

                                                                                /   /  3/4\\
                               /   /  3/4\\                                     |   | 2   ||
                               |   | 2   ||                                     |   | ----||
                               |   | ----||                                     |   |  2  ||
                               |   |  2  || <=       1    -log(128) + 4*LambertW\log\2    //
    26   -log(128) + 4*LambertW\log\2    //          -- - ----------------------------------
    -- + ----------------------------------          10                8*log(2)             
    5                  log(2)                  -1 + 4                                       
                                               

    значит решение неравенства будет при:
    $$x \leq \frac{1}{8 \log{\left (2 \right )}} \left(- \log{\left (128 \right )} + 4 \operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (2^{\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}} \right )} \right )}\right)$$
     _____          
          \    
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
       /                           /   /  3/4\\         \
       |                           |   | 2   ||         |
       |                           |   | ----||         |
       |                           |   |  2  ||         |
       |     -log(128) + 4*LambertW\log\2    //         |
    And|x <= ----------------------------------, -oo < x|
       \                  8*log(2)                      /
    $$x \leq \frac{1}{8 \log{\left (2 \right )}} \left(- \log{\left (128 \right )} + 4 \operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (2^{\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}} \right )} \right )}\right) \wedge -\infty < x$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
                                /   /  3/4\\ 
                                |   | 2   || 
                                |   | ----|| 
                                |   |  2  || 
          -log(128) + 4*LambertW\log\2    // 
    (-oo, ----------------------------------]
                       8*log(2)              
    $$x \in \left(-\infty, \frac{1}{8 \log{\left (2 \right )}} \left(- \log{\left (128 \right )} + 4 \operatorname{LambertW}{\left (\log{\left (2^{\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}} \right )} \right )}\right)\right]$$