1/(5*x-12)+(2*x^2-6*x+10)*1/(x-3)>=2*x (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 1/(5*x-12)+(2*x^2-6*x+10)*1/(x-3)>=2*x (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                  2                  
       1       2*x  - 6*x + 10       
    -------- + --------------- >= 2*x
    5*x - 12        x - 3            
    $$\frac{1}{5 x - 12} + \frac{1}{x - 3} \left(2 x^{2} - 6 x + 10\right) \geq 2 x$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{1}{5 x - 12} + \frac{1}{x - 3} \left(2 x^{2} - 6 x + 10\right) \geq 2 x$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{1}{5 x - 12} + \frac{1}{x - 3} \left(2 x^{2} - 6 x + 10\right) = 2 x$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{1}{5 x - 12} + \frac{1}{x - 3} \left(2 x^{2} - 6 x + 10\right) = 2 x$$
    преобразуем:
    Вынесем общий множитель за скобки
    $$\frac{51 x - 123}{\left(x - 3\right) \left(5 x - 12\right)} = 0$$
    знаменатель
    $$x - 3$$
    тогда
    x не равен 3

    знаменатель
    $$5 x - 12$$
    тогда
    x не равен 12/5

    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$51 x - 123 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$51 x - 123 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$51 x = 123$$
    Разделим обе части ур-ния на 51
    x = 123 / (51)

    Получим ответ: x1 = 41/17
    но
    x не равен 3

    x не равен 12/5

    $$x_{1} = \frac{41}{17}$$
    $$x_{1} = \frac{41}{17}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{41}{17}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{393}{170}$$
    =
    $$\frac{393}{170}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{1}{5 x - 12} + \frac{1}{x - 3} \left(2 x^{2} - 6 x + 10\right) \geq 2 x$$
                        2                      
                   /393\    6*393              
                 2*|---|  - ----- + 10         
        1          \170/     170          2*393
    ---------- + --------------------- >= -----
    5*393                       1          170 
    ----- - 12         /393    \               
     170               |--- - 3|               
                       \170    /               

    -121061     393
    -------- >= ---
      9945       85

    но
    -121061    393
    -------- < ---
      9945      85

    Тогда
    $$x \leq \frac{41}{17}$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x \geq \frac{41}{17}$$
             _____  
            /
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /     41          \                    \
    Or|And|x <= --, 12/5 < x|, And(3 < x, x < oo)|
      \   \     17          /                    /
    $$\left(x \leq \frac{41}{17} \wedge \frac{12}{5} < x\right) \vee \left(3 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
           41           
    (12/5, --] U (3, oo)
           17           
    $$x \in \left(\frac{12}{5}, \frac{41}{17}\right] \cup \left(3, \infty\right)$$