7^(x+1)+7*7^(-x)>50 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 7^(x+1)+7*7^(-x)>50 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     x + 1      -x     
    7      + 7*7   > 50
    $$7^{x + 1} + 7 \cdot 7^{- x} > 50$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$7^{x + 1} + 7 \cdot 7^{- x} > 50$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$7^{x + 1} + 7 \cdot 7^{- x} = 50$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$7^{x + 1} + 7 \cdot 7^{- x} = 50$$
    или
    $$7^{x + 1} + 7 \cdot 7^{- x} - 50 = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = \left(\frac{1}{7}\right)^{x}$$
    получим
    $$7 v - 50 + \frac{7^{1}}{v} = 0$$
    или
    $$7 v - 50 + \frac{7}{v} = 0$$
    делаем обратную замену
    $$\left(\frac{1}{7}\right)^{x} = v$$
    или
    $$x = - \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (7 \right )}}$$
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 1$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 1$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$7^{x + 1} + 7 \cdot 7^{- x} > 50$$
       11          -(-11)      
     - -- + 1      -------     
       10             10       
    7         + 7*7        > 50

                9/10     
       10___   7         
    49*\/ 7  + ----- > 50
                 7       
         

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < -1$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < -1$$
    $$x > 1$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-oo < x, x < -1), And(1 < x, x < oo))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < -1\right) \vee \left(1 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, -1) U (1, oo)
    $$x \in \left(-\infty, -1\right) \cup \left(1, \infty\right)$$