log(x)*log(2)*(3*x-7)*1/(3*x-4)>=0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: log(x)*log(2)*(3*x-7)*1/(3*x-4)>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    log(x)*log(2)*(3*x - 7)     
    ----------------------- >= 0
            3*x - 4             
    $$\frac{\log{\left (2 \right )} \log{\left (x \right )}}{3 x - 4} \left(3 x - 7\right) \geq 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\log{\left (2 \right )} \log{\left (x \right )}}{3 x - 4} \left(3 x - 7\right) \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\log{\left (2 \right )} \log{\left (x \right )}}{3 x - 4} \left(3 x - 7\right) = 0$$
    Решаем:
    $$x_{1} = 1$$
    $$x_{2} = \frac{7}{3}$$
    $$x_{1} = 1$$
    $$x_{2} = \frac{7}{3}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 1$$
    $$x_{2} = \frac{7}{3}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{9}{10}$$
    =
    $$\frac{9}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\log{\left (2 \right )} \log{\left (x \right )}}{3 x - 4} \left(3 x - 7\right) \geq 0$$
    $$\frac{\log{\left (\frac{9}{10} \right )} \log{\left (2 \right )}}{-4 + \frac{27}{10} 1} \left(-7 + \frac{27}{10} 1\right) \geq 0$$
    43*(-log(10) + log(9))*log(2)     
    ----------------------------- >= 0
                  13                  

    но
    43*(-log(10) + log(9))*log(2)    
    ----------------------------- < 0
                  13                 

    Тогда
    $$x \leq 1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq 1 \wedge x \leq \frac{7}{3}$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(1 <= x, x < 4/3), And(7/3 <= x, x < oo))
    $$\left(1 \leq x \wedge x < \frac{4}{3}\right) \vee \left(\frac{7}{3} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    [1, 4/3) U [7/3, oo)
    $$x \in \left[1, \frac{4}{3}\right) \cup \left[\frac{7}{3}, \infty\right)$$