8<x^2+2*x (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 8<x^2+2*x (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
         2      
    8 < x  + 2*x
    $$8 < x^{2} + 2 x$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$8 < x^{2} + 2 x$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$8 = x^{2} + 2 x$$
    Решаем:
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$8 = x^{2} + 2 x$$
    в
    $$- x^{2} - 2 x + 8 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -1$$
    $$b = -2$$
    $$c = 8$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-2)^2 - 4 * (-1) * (8) = 36

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = -4$$
    $$x_{2} = 2$$
    $$x_{1} = -4$$
    $$x_{2} = 2$$
    $$x_{1} = -4$$
    $$x_{2} = 2$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -4$$
    $$x_{2} = 2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{41}{10}$$
    =
    $$- \frac{41}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$8 < x^{2} + 2 x$$
    $$8 < \frac{-82}{10} 1 + \left(- \frac{41}{10}\right)^{2}$$
        861
    8 < ---
        100

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < -4$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < -4$$
    $$x > 2$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-oo < x, x < -4), And(2 < x, x < oo))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < -4\right) \vee \left(2 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, -4) U (2, oo)
    $$x \in \left(-\infty, -4\right) \cup \left(2, \infty\right)$$