3^log(x^2-1)>(x+1)^log(3) (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 3^log(x^2-1)>(x+1)^log(3) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
        / 2    \                
     log\x  - 1/          log(3)
    3            > (x + 1)      
    $$3^{\log{\left (x^{2} - 1 \right )}} > \left(x + 1\right)^{\log{\left (3 \right )}}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$3^{\log{\left (x^{2} - 1 \right )}} > \left(x + 1\right)^{\log{\left (3 \right )}}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$3^{\log{\left (x^{2} - 1 \right )}} = \left(x + 1\right)^{\log{\left (3 \right )}}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$3^{\log{\left (x^{2} - 1 \right )}} = \left(x + 1\right)^{\log{\left (3 \right )}}$$
    преобразуем
    $$3^{\log{\left (x^{2} - 1 \right )}} - \left(x + 1\right)^{\log{\left (3 \right )}} = 0$$
    $$3^{\log{\left (x^{2} - 1 \right )}} - \left(x + 1\right)^{\log{\left (3 \right )}} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (3 \right )}$$
    $$3^{\log{\left (x^{2} - 1 \right )}} - \left(x + 1\right)^{w} = 0$$
    или
    $$3^{\log{\left (x^{2} - 1 \right )}} - \left(x + 1\right)^{w} = 0$$
    или
    $$- \left(x + 1\right)^{w} = - 3^{\log{\left (x^{2} - 1 \right )}}$$
    или
    $$\left(x + 1\right)^{w} = 3^{\log{\left (x^{2} - 1 \right )}}$$
    - это простейшее показательное ур-ние
    Сделаем замену
    $$v = \left(x + 1\right)^{w}$$
    получим
    $$- 3^{\log{\left (x^{2} - 1 \right )}} + v = 0$$
    или
    $$- 3^{\log{\left (x^{2} - 1 \right )}} + v = 0$$
    делаем обратную замену
    $$\left(x + 1\right)^{w} = v$$
    или
    $$w = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (x + 1 \right )}}$$
    Тогда, окончательный ответ
    $$w_{1} = \frac{\log{\left (3^{\log{\left (x^{2} - 1 \right )}} \right )}}{\log{\left (x + 1 \right )}} = \frac{\log{\left (3^{\log{\left (x^{2} - 1 \right )}} \right )}}{\log{\left (x + 1 \right )}}$$
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (3 \right )} = w$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = -1 + 2.01066969381 \cdot 10^{-18} i$$
    $$x_{2} = -1 + 1.40117886598 \cdot 10^{-16} i$$
    $$x_{3} = -1$$
    $$x_{4} = -1 + 1.41207457378 \cdot 10^{-17} i$$
    $$x_{5} = -1 + 1.15844662454 \cdot 10^{-17} i$$
    $$x_{6} = -1 + 3.91182939638 \cdot 10^{-17} i$$
    $$x_{7} = -1 + 3.68840186602 \cdot 10^{-16} i$$
    $$x_{8} = -1 + 1.45105699096 \cdot 10^{-18} i$$
    $$x_{9} = -1 + 2.76446651316 \cdot 10^{-19} i$$
    $$x_{10} = -1 + 1.70535903089 \cdot 10^{-17} i$$
    $$x_{11} = -1 + 2.86368232518 \cdot 10^{-17} i$$
    $$x_{12} = -1 + 5.99435973777 \cdot 10^{-17} i$$
    $$x_{13} = 2$$
    $$x_{14} = -1 + 2.5738505277 \cdot 10^{-16} i$$
    $$x_{15} = -1 + 2.42691920494 \cdot 10^{-17} i$$
    $$x_{16} = -1 + 3.59994254079 \cdot 10^{-18} i$$
    $$x_{17} = -1 + 4.36550023835 \cdot 10^{-16} i$$
    $$x_{18} = -1 + 1.01750503915 \cdot 10^{-18} i$$
    $$x_{19} = -1 + 1.25410079355 \cdot 10^{-16} i$$
    $$x_{20} = -1 + 3.38112441651 \cdot 10^{-16} i$$
    $$x_{21} = -1 + 2.12275405172 \cdot 10^{-16} i$$
    $$x_{22} = -1 + 5.98785403347 \cdot 10^{-18} i$$
    $$x_{23} = -1 + 5.2252618956 \cdot 10^{-17} i$$
    $$x_{24} = -1 + 4.53285366823 \cdot 10^{-17} i$$
    $$x_{25} = -1 + 6.89402249024 \cdot 10^{-19} i$$
    $$x_{26} = -1 + 2.82470148145 \cdot 10^{-16} i$$
    $$x_{27} = -1 + 7.78481890344 \cdot 10^{-17} i$$
    $$x_{28} = -1 + 1.92092153803 \cdot 10^{-16} i$$
    $$x_{29} = -1 + 1.73387439074 \cdot 10^{-16} i$$
    $$x_{30} = -1 + 3.35707792818 \cdot 10^{-17} i$$
    $$x_{31} = -1 + 1.59681084497 \cdot 10^{-19} i$$
    $$x_{32} = -1 + 9.40707963869 \cdot 10^{-18} i$$
    $$x_{33} = -1 + 3.09351182161 \cdot 10^{-16} i$$
    $$x_{34} = -1 + 7.55282443118 \cdot 10^{-18} i$$
    $$x_{35} = -1 + 2.71883889888 \cdot 10^{-18} i$$
    $$x_{36} = -1 + 1.56086837384 \cdot 10^{-16} i$$
    $$x_{37} = -1 + 6.84564731177 \cdot 10^{-17} i$$
    $$x_{38} = -1 + 4.01622647742 \cdot 10^{-16} i$$
    $$x_{39} = -1 + 9.95055988283 \cdot 10^{-17} i$$
    $$x_{40} = -1 + 1.11894856123 \cdot 10^{-16} i$$
    $$x_{41} = -1 + 2.04225781349 \cdot 10^{-17} i$$
    $$x_{42} = -1 + 8.81776258479 \cdot 10^{-17} i$$
    $$x_{43} = -1 + 2.34013584018 \cdot 10^{-16} i$$
    $$x_{44} = -1 + 4.48010185031 \cdot 10^{-19} i$$
    $$x_{45} = -1 + 4.68023580134 \cdot 10^{-18} i$$
    $$x_{46} = -1 + 4.73714479102 \cdot 10^{-16} i$$
    Исключаем комплексные решения:
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 2$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$-1.1$$
    =
    $$-1.1$$
    подставляем в выражение
    $$3^{\log{\left (x^{2} - 1 \right )}} > \left(x + 1\right)^{\log{\left (3 \right )}}$$
    $$3^{\log{\left (-1 + \left(-1.1\right)^{2} \right )}} > \left(-1.1 + 1\right)^{\log{\left (3 \right )}}$$
                            log(3)
    0.180045299741135 > -0.1      
                        

    Тогда
    $$x < -1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -1 \wedge x < 2$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике