sin(x)<=cos(x) (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: sin(x)<=cos(x) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    sin(x) <= cos(x)
    $$\sin{\left (x \right )} \leq \cos{\left (x \right )}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\sin{\left (x \right )} \leq \cos{\left (x \right )}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$$
    преобразуем:
    $$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} = 1$$
    или
    $$\tan{\left (x \right )} = 1$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left (-1 \right )}$$
    Или
    $$x = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
    , где n - любое целое число
    $$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
    $$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
      pi          1 
    - -- + pi*n - --
      4           10

    =
    $$\pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\sin{\left (x \right )} \leq \cos{\left (x \right )}$$
       /  pi          1 \       /  pi          1 \
    sin|- -- + pi*n - --| <= cos|- -- + pi*n - --|
       \  4           10/       \  4           10/

        /1    pi       \       /1    pi       \
    -sin|-- + -- - pi*n| <= cos|-- + -- - pi*n|
        \10   4        /       \10   4        /

    но
        /1    pi       \       /1    pi       \
    -sin|-- + -- - pi*n| >= cos|-- + -- - pi*n|
        \10   4        /       \10   4        /

    Тогда
    $$x \leq \pi n - \frac{\pi}{4}$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x \geq \pi n - \frac{\pi}{4}$$
             _____  
            /
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       /-3*pi            pi\
    And|----- <= x, x <= --|
       \  4              4 /
    $$- \frac{3 \pi}{4} \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{4}$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     -3*pi  pi 
    [-----, --]
       4    4  
    $$x \in \left[- \frac{3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$