5^(log(5)*1/log(x+1))>=1/25 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 5^(log(5)*1/log(x+1))>=1/25 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       log(5)          
     ----------        
     log(x + 1)        
    5           >= 1/25
    $$5^{\frac{\log{\left (5 \right )}}{\log{\left (x + 1 \right )}}} \geq \frac{1}{25}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$5^{\frac{\log{\left (5 \right )}}{\log{\left (x + 1 \right )}}} \geq \frac{1}{25}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$5^{\frac{\log{\left (5 \right )}}{\log{\left (x + 1 \right )}}} = \frac{1}{25}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$5^{\frac{\log{\left (5 \right )}}{\log{\left (x + 1 \right )}}} = \frac{1}{25}$$
    преобразуем
    $$\frac{1}{25} 5^{\frac{\log{\left (5 \left(x + 1\right)^{2} \right )}}{\log{\left (x + 1 \right )}}} - \frac{1}{25} = 0$$
    $$\frac{1}{25} 5^{\frac{\log{\left (5 \left(x + 1\right)^{2} \right )}}{\log{\left (x + 1 \right )}}} - \frac{1}{25} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (5 \left(x + 1\right)^{2} \right )}$$
    $$\frac{1}{25} 5^{\frac{w}{\log{\left (x + 1 \right )}}} - \frac{1}{25} = 0$$
    или
    $$\frac{1}{25} 5^{\frac{w}{\log{\left (x + 1 \right )}}} - \frac{1}{25} = 0$$
    или
    $$\frac{1}{25} \left(5^{\frac{1}{\log{\left (x + 1 \right )}}}\right)^{w} = \frac{1}{25}$$
    или
    $$\left(5^{\frac{1}{\log{\left (x + 1 \right )}}}\right)^{w} = 1$$
    - это простейшее показательное ур-ние
    Сделаем замену
    $$v = \left(5^{\frac{1}{\log{\left (x + 1 \right )}}}\right)^{w}$$
    получим
    $$v - 1 = 0$$
    или
    $$v - 1 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без v)
    из левой части в правую, получим:
    $$v = 1$$
    Получим ответ: v = 1
    делаем обратную замену
    $$\left(5^{\frac{1}{\log{\left (x + 1 \right )}}}\right)^{w} = v$$
    или
    $$w = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (5^{\frac{1}{\log{\left (x + 1 \right )}}} \right )}}$$
    Тогда, окончательный ответ
    $$w_{1} = \frac{\log{\left (1 \right )}}{\log{\left (5^{\frac{1}{\log{\left (x + 1 \right )}}} \right )}} = 0$$
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (5 \left(x + 1\right)^{2} \right )} = w$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = -1 + \frac{\sqrt{5}}{5}$$
    $$x_{1} = -1 + \frac{\sqrt{5}}{5}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -1 + \frac{\sqrt{5}}{5}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$-1 + \frac{\sqrt{5}}{5} + - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10} + \frac{\sqrt{5}}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$5^{\frac{\log{\left (5 \right )}}{\log{\left (x + 1 \right )}}} \geq \frac{1}{25}$$
    $$5^{\frac{\log{\left (5 \right )}}{\log{\left (-1 + \frac{\sqrt{5}}{5} + - \frac{1}{10} + 1 \right )}}} \geq \frac{1}{25}$$
           log(5)             
     -----------------        
        /         ___\        
        |  1    \/ 5 | >= 1/25
     log|- -- + -----|        
        \  10     5  /        
    5                         

    значит решение неравенства будет при:
    $$x \leq -1 + \frac{\sqrt{5}}{5}$$
     _____          
          \    
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /                               ___\
      |                             \/ 5 |
    Or|And(0 < x, x < oo), x = -1 + -----|
      \                               5  /
    $$\left(0 < x \wedge x < \infty\right) \vee x = -1 + \frac{\sqrt{5}}{5}$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
            ___           
          \/ 5            
    {-1 + -----} U (0, oo)
            5             
    $$x \in \left\{-1 + \frac{\sqrt{5}}{5}\right\} \cup \left(0, \infty\right)$$