2*cos(x)^2+cos(x)<1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2*cos(x)^2+cos(x)<1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

     2                
2*cos (x) + cos(x) < 1

$$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} < 1$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} < 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 1$$
преобразуем
$$\cos{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
$$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (2) * (-1) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \pi$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{4} = \pi n$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} < 1$$
$$\cos{\left (- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3} \right )} + 2 \cos^{2}{\left (- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3} \right )} < 1$$

     2/1    pi\      /1    pi\    
2*sin |-- + --| + sin|-- + --| < 1
      \10   6 /      \10   6 /    

но

     2/1    pi\      /1    pi\    
2*sin |-- + --| + sin|-- + --| > 1
      \10   6 /      \10   6 /    

Тогда
$$x < \frac{\pi}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{\pi}{3} \wedge x < \pi$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > \frac{\pi}{3} \wedge x < \pi$$
$$x > \frac{5 \pi}{3}$$

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  /   /            5*pi\     /5*pi            \     /pi            \\
Or|And|pi < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo|, And|-- < x, x < pi||
  \   \             3  /     \ 3              /     \3             //

$$\left(\pi < x \wedge x < \frac{5 \pi}{3}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{3} < x \wedge x < \infty\right) \vee \left(\frac{\pi}{3} < x \wedge x < \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

 pi             5*pi     5*pi     
(--, pi) U (pi, ----) U (----, oo)
 3               3        3       

$$x \in \left(\frac{\pi}{3}, \pi\right) \cup \left(\pi, \frac{5 \pi}{3}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)$$