2*cos(x)^2+cos(x)<1 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 2*cos(x)^2+cos(x)<1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
         2                
    2*cos (x) + cos(x) < 1
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} < 1$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} < 1$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 1$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 1$$
    преобразуем
    $$\cos{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} - 1 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \cos{\left (x \right )}$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 2$$
    $$b = 1$$
    $$c = -1$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (1)^2 - 4 * (2) * (-1) = 9

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = \frac{1}{2}$$
    $$w_{2} = -1$$
    делаем обратную замену
    $$\cos{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\cos{\left (x \right )} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
    Или
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
    $$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )}$$
    $$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (-1 \right )}$$
    $$x_{2} = \pi n + \pi$$
    $$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} - \pi$$
    $$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
    $$x_{3} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )} - \pi$$
    $$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (-1 \right )}$$
    $$x_{4} = \pi n$$
    $$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{2} = \pi$$
    $$x_{3} = \frac{5 \pi}{3}$$
    $$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{2} = \pi$$
    $$x_{3} = \frac{5 \pi}{3}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{2} = \pi$$
    $$x_{3} = \frac{5 \pi}{3}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
    подставляем в выражение
    $$2 \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} < 1$$
    $$\cos{\left (- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3} \right )} + 2 \cos^{2}{\left (- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3} \right )} < 1$$
         2/1    pi\      /1    pi\    
    2*sin |-- + --| + sin|-- + --| < 1
          \10   6 /      \10   6 /    

    но
         2/1    pi\      /1    pi\    
    2*sin |-- + --| + sin|-- + --| > 1
          \10   6 /      \10   6 /    

    Тогда
    $$x < \frac{\pi}{3}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > \frac{\pi}{3} \wedge x < \pi$$
             _____           _____  
            /     \         /
    -------ο-------ο-------ο-------
           x1      x2      x3

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x > \frac{\pi}{3} \wedge x < \pi$$
    $$x > \frac{5 \pi}{3}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /            5*pi\     /5*pi            \     /pi            \\
    Or|And|pi < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo|, And|-- < x, x < pi||
      \   \             3  /     \ 3              /     \3             //
    $$\left(\pi < x \wedge x < \frac{5 \pi}{3}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{3} < x \wedge x < \infty\right) \vee \left(\frac{\pi}{3} < x \wedge x < \pi\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     pi             5*pi     5*pi     
    (--, pi) U (pi, ----) U (----, oo)
     3               3        3       
    $$x \in \left(\frac{\pi}{3}, \pi\right) \cup \left(\pi, \frac{5 \pi}{3}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)$$