(x^3-8*x^2+15)*1/((x^2-7*x+12)*(4-x))>=0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x^3-8*x^2+15)*1/((x^2-7*x+12)*(4-x))>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
          3      2              
         x  - 8*x  + 15         
    ----------------------- >= 0
    / 2           \             
    \x  - 7*x + 12/*(4 - x)     
    $$\frac{x^{3} - 8 x^{2} + 15}{\left(- x + 4\right) \left(x^{2} - 7 x + 12\right)} \geq 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{x^{3} - 8 x^{2} + 15}{\left(- x + 4\right) \left(x^{2} - 7 x + 12\right)} \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{x^{3} - 8 x^{2} + 15}{\left(- x + 4\right) \left(x^{2} - 7 x + 12\right)} = 0$$
    Решаем:
    $$x_{1} = \frac{8}{3} + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}} + \frac{64}{9 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}}$$
    $$x_{2} = \frac{8}{3} + \frac{64}{9 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}} + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}$$
    $$x_{3} = \frac{8}{3} + \frac{64}{9 \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}} + \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}$$
    Исключаем комплексные решения:
    $$x_{1} = \frac{8}{3} + \frac{64}{9 \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}} + \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{8}{3} + \frac{64}{9 \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}} + \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{8}{3} + \frac{64}{9 \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}} + \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}$$
    =
    $$\frac{77}{30} + \frac{64}{9 \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}} + \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{x^{3} - 8 x^{2} + 15}{\left(- x + 4\right) \left(x^{2} - 7 x + 12\right)} \geq 0$$
                                                                                                      3                                                                   2                                             
                                        /         __________________                                 \      /         __________________                                 \                                              
                                        |        /           ______                                  |      |        /           ______                                  |                                              
                                        |8      /  619   I*\/ 8215                 64              1 |      |8      /  619   I*\/ 8215                 64              1 |                                              
                                        |- + 3 /   --- + ----------  + ------------------------- - --|  - 8*|- + 3 /   --- + ----------  + ------------------------- - --|  + 15                                        
                                        |3   \/     54       6                __________________   10|      |3   \/     54       6                __________________   10|                                              
                                        |                                    /           ______      |      |                                    /           ______      |                                              
                                        |                                   /  619   I*\/ 8215       |      |                                   /  619   I*\/ 8215       |                                              
                                        |                              9*3 /   --- + ----------      |      |                              9*3 /   --- + ----------      |                                              
                                        \                                \/     54       6           /      \                                \/     54       6           /                                              
    --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- >= 0
                                                                                                                                                                                                                  1     
    //                                                              2                                                                        \                                                                   \      
    ||/         __________________                                 \      /         __________________                                 \     | /             __________________                                 \|      
    |||        /           ______                                  |      |        /           ______                                  |     | |            /           ______                                  ||      
    |||8      /  619   I*\/ 8215                 64              1 |      |8      /  619   I*\/ 8215                 64              1 |     | |    8      /  619   I*\/ 8215                 64              1 ||      
    |||- + 3 /   --- + ----------  + ------------------------- - --|  - 7*|- + 3 /   --- + ----------  + ------------------------- - --| + 12|*|4 - - + 3 /   --- + ----------  + ------------------------- - --||      
    |||3   \/     54       6                __________________   10|      |3   \/     54       6                __________________   10|     | |    3   \/     54       6                __________________   10||      
    |||                                    /           ______      |      |                                    /           ______      |     | |                                        /           ______      ||      
    |||                                   /  619   I*\/ 8215       |      |                                   /  619   I*\/ 8215       |     | |                                       /  619   I*\/ 8215       ||      
    |||                              9*3 /   --- + ----------      |      |                              9*3 /   --- + ----------      |     | |                                  9*3 /   --- + ----------      ||      
    \\\                                \/     54       6           /      \                                \/     54       6           /     / \                                    \/     54       6           //      

                                                                                               3                                                               2                                 
                                     /          __________________                            \      /          __________________                            \                                  
                                     |         /           ______                             |      |         /           ______                             |                                  
                                     |77      /  619   I*\/ 8215                 64           |      |77      /  619   I*\/ 8215                 64           |                                  
                                15 + |-- + 3 /   --- + ----------  + -------------------------|  - 8*|-- + 3 /   --- + ----------  + -------------------------|                                  
                                     |30   \/     54       6                __________________|      |30   \/     54       6                __________________|                                  
                                     |                                     /           ______ |      |                                     /           ______ |                                  
                                     |                                    /  619   I*\/ 8215  |      |                                    /  619   I*\/ 8215  |                                  
                                     |                               9*3 /   --- + ---------- |      |                               9*3 /   --- + ---------- |                                  
                                     \                                 \/     54       6      /      \                                 \/     54       6      /                                  
    ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- >= 0
                                                               /                                                                  2                                                        \     
    /          __________________                            \ |        /          __________________                            \           __________________                            |     
    |         /           ______                             | |        |         /           ______                             |          /           ______                             |     
    |43      /  619   I*\/ 8215                 64           | |  179   |77      /  619   I*\/ 8215                 64           |         /  619   I*\/ 8215                448           |     
    |-- - 3 /   --- + ----------  - -------------------------|*|- --- + |-- + 3 /   --- + ----------  + -------------------------|  - 7*3 /   --- + ----------  - -------------------------|     
    |30   \/     54       6                __________________| |   30   |30   \/     54       6                __________________|      \/     54       6                __________________|     
    |                                     /           ______ | |        |                                     /           ______ |                                      /           ______ |     
    |                                    /  619   I*\/ 8215  | |        |                                    /  619   I*\/ 8215  |                                     /  619   I*\/ 8215  |     
    |                               9*3 /   --- + ---------- | |        |                               9*3 /   --- + ---------- |                                9*3 /   --- + ---------- |     
    \                                 \/     54       6      / \        \                                 \/     54       6      /                                  \/     54       6      /     

    Тогда
    $$x \leq \frac{8}{3} + \frac{64}{9 \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}} + \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x \geq \frac{8}{3} + \frac{64}{9 \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}} + \sqrt[3]{\frac{619}{54} + \frac{\sqrt{8215} i}{6}}$$
             _____  
            /
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
      /   /            /      3      2   \         /      3      2   \     \                        /            /      3      2   \       \\
    Or\And\x <= CRootOf\15 + x  - 8*x , 1/, CRootOf\15 + x  - 8*x , 0/ <= x/, And(3 < x, x < 4), And\x <= CRootOf\15 + x  - 8*x , 2/, 4 < x//
    $$\left(x \leq \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 8 x^{2} + 15, 1\right)} \wedge \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 8 x^{2} + 15, 0\right)} \leq x\right) \vee \left(3 < x \wedge x < 4\right) \vee \left(x \leq \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 8 x^{2} + 15, 2\right)} \wedge 4 < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
            /      3      2   \         /      3      2   \                        /      3      2   \ 
    [CRootOf\15 + x  - 8*x , 0/, CRootOf\15 + x  - 8*x , 1/] U (3, 4) U (4, CRootOf\15 + x  - 8*x , 2/]
    $$x \in \left[\operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 8 x^{2} + 15, 0\right)}, \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 8 x^{2} + 15, 1\right)}\right] \cup \left(3, 4\right) \cup \left(4, \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 8 x^{2} + 15, 2\right)}\right]$$