Abs(x*(1-x))<1/20 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: Abs(x*(1-x))<1/20 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    |x*(1 - x)| < 1/20
    $$\left|{x \left(- x + 1\right)}\right| < \frac{1}{20}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left|{x \left(- x + 1\right)}\right| < \frac{1}{20}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left|{x \left(- x + 1\right)}\right| = \frac{1}{20}$$
    Решаем:
    Для каждого выражения под модулем в ур-нии
    допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
    решаем получившиеся ур-ния.

    1.
    $$x \left(x - 1\right) \geq 0$$
    или
    $$\left(1 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq 0 \wedge -\infty < x\right)$$
    получаем ур-ние
    $$x \left(x - 1\right) - \frac{1}{20} = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$x \left(x - 1\right) - \frac{1}{20} = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{30}}{10}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{30}}{10} + \frac{1}{2}$$

    2.
    $$x \left(x - 1\right) < 0$$
    или
    $$0 < x \wedge x < 1$$
    получаем ур-ние
    $$- x \left(x - 1\right) - \frac{1}{20} = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$- x \left(x - 1\right) - \frac{1}{20} = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}$$
    $$x_{4} = \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}$$


    $$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{30}}{10}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{30}}{10} + \frac{1}{2}$$
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}$$
    $$x_{4} = \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{30}}{10}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{30}}{10} + \frac{1}{2}$$
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}$$
    $$x_{4} = \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{30}}{10} + \frac{1}{2}$$
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}$$
    $$x_{4} = \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{30}}{10}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
          ____     
    1   \/ 30    1 
    - - ------ - --
    2     10     10

    =
    $$- \frac{\sqrt{30}}{10} + \frac{2}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$\left|{x \left(- x + 1\right)}\right| < \frac{1}{20}$$
    |/      ____     \ /          ____     \|       
    ||1   \/ 30    1 | |    1   \/ 30    1 ||       
    ||- - ------ - --|*|1 - - - ------ - --|| < 1/20
    |\2     10     10/ \    2     10     10/|       

    /        ____\ /      ____\       
    |  2   \/ 30 | |3   \/ 30 |       
    |- - + ------|*|- + ------| < 1/20
    \  5     10  / \5     10  /       
           

    но
    /        ____\ /      ____\       
    |  2   \/ 30 | |3   \/ 30 |       
    |- - + ------|*|- + ------| > 1/20
    \  5     10  / \5     10  /       
           

    Тогда
    $$x < - \frac{\sqrt{30}}{10} + \frac{1}{2}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > - \frac{\sqrt{30}}{10} + \frac{1}{2} \wedge x < - \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}$$
             _____           _____  
            /     \         /     \  
    -------ο-------ο-------ο-------ο-------
           x2      x3      x4      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x > - \frac{\sqrt{30}}{10} + \frac{1}{2} \wedge x < - \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}$$
    $$x > \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2} \wedge x < \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{30}}{10}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /          ____        ___    \     /          ___        ____    \\
      |   |    1   \/ 30   1   \/ 5     |     |    1   \/ 5   1   \/ 30     ||
    Or|And|x < - + ------, - + ----- < x|, And|x < - - -----, - - ------ < x||
      \   \    2     10    2     5      /     \    2     5    2     10      //
    $$\left(x < \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{30}}{10} \wedge \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2} < x\right) \vee \left(x < - \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2} \wedge - \frac{\sqrt{30}}{10} + \frac{1}{2} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
           ____        ___           ___        ____ 
     1   \/ 30   1   \/ 5      1   \/ 5   1   \/ 30  
    (- - ------, - - -----) U (- + -----, - + ------)
     2     10    2     5       2     5    2     10   
    $$x \in \left(- \frac{\sqrt{30}}{10} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{30}}{10}\right)$$