2*|x+1|-|x-1|>3 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 2*|x+1|-|x-1|>3 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
    2*|x + 1| - |x - 1| > 3
    $$- \left|{x - 1}\right| + 2 \left|{x + 1}\right| > 3$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$- \left|{x - 1}\right| + 2 \left|{x + 1}\right| > 3$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$- \left|{x - 1}\right| + 2 \left|{x + 1}\right| = 3$$
    Решаем:
    Для каждого выражения под модулем в ур-нии
    допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
    решаем получившиеся ур-ния.

    1.
    $$x - 1 \geq 0$$
    $$x + 1 \geq 0$$
    или
    $$1 \leq x \wedge x < \infty$$
    получаем ур-ние
    $$- x - 1 + 2 \left(x + 1\right) - 3 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$x = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{1} = 0$$
    но x1 не удовлетворяет неравенству

    2.
    $$x - 1 \geq 0$$
    $$x + 1 < 0$$
    Неравенства не выполняются, пропускаем

    3.
    $$x - 1 < 0$$
    $$x + 1 \geq 0$$
    или
    $$-1 \leq x \wedge x < 1$$
    получаем ур-ние
    $$- - x + 1 + 2 \left(x + 1\right) - 3 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$3 x - 2 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{2} = \frac{2}{3}$$

    4.
    $$x - 1 < 0$$
    $$x + 1 < 0$$
    или
    $$-\infty < x \wedge x < -1$$
    получаем ур-ние
    $$2 \left(- x - 1\right) - - x + 1 - 3 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$- x - 6 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{3} = -6$$


    $$x_{1} = \frac{2}{3}$$
    $$x_{2} = -6$$
    $$x_{1} = \frac{2}{3}$$
    $$x_{2} = -6$$
    Данные корни
    $$x_{2} = -6$$
    $$x_{1} = \frac{2}{3}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{61}{10}$$
    =
    $$- \frac{61}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$- \left|{x - 1}\right| + 2 \left|{x + 1}\right| > 3$$
      |  61    |   |  61    |    
    2*|- -- + 1| - |- -- - 1| > 3
      |  10    |   |  10    |    

    31    
    -- > 3
    10    

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < -6$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < -6$$
    $$x > \frac{2}{3}$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-oo < x, x < -6), And(2/3 < x, x < oo))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < -6\right) \vee \left(\frac{2}{3} < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, -6) U (2/3, oo)
    $$x \in \left(-\infty, -6\right) \cup \left(\frac{2}{3}, \infty\right)$$