2*a*1/(a^2-2*a+4)<1 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 2*a*1/(a^2-2*a+4)<1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
        2*a         
    ------------ < 1
     2              
    a  - 2*a + 4    
    $$\frac{2 a}{a^{2} - 2 a + 4} < 1$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{2 a}{a^{2} - 2 a + 4} < 1$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{2 a}{a^{2} - 2 a + 4} = 1$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{2 a}{a^{2} - 2 a + 4} = 1$$
    Используем правило пропорций:
    Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
    В нашем случае
    a1 = 2*a

    b1 = 4 + a^2 - 2*a

    a2 = 1

    b2 = 1

    зн. получим ур-ние
    $$2 a = a^{2} - 2 a + 4$$
    $$2 a = a^{2} - 2 a + 4$$
    Переносим слагаемые с неизвестным x
    из правой части в левую:
    $$4 a = a^{2} + 4$$
    Данное ур-ние не имеет решений
    $$x_{1} = 2.00000098584$$
    $$x_{2} = 1.99999915634$$
    $$x_{3} = 2$$
    $$x_{1} = 2.00000098584$$
    $$x_{2} = 1.99999915634$$
    $$x_{3} = 2$$
    Данные корни
    $$x_{2} = 1.99999915634$$
    $$x_{3} = 2$$
    $$x_{1} = 2.00000098584$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$1.89999915634$$
    =
    $$1.89999915634$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{2 a}{a^{2} - 2 a + 4} < 1$$
          2*a          
    --------------- < 1
                  1    
    / 2          \     
    \a  - 2*a + 4/     

        2*a         
    ------------    
         2       < 1
    4 + a  - 2*a    
        

    Тогда
    $$x < 1.99999915634$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > 1.99999915634 \wedge x < 2$$
             _____           _____  
            /     \         /
    -------ο-------ο-------ο-------
           x2      x3      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x > 1.99999915634 \wedge x < 2$$
    $$x > 2.00000098584$$
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-oo < a, a < 2), And(2 < a, a < oo))
    $$\left(-\infty < a \wedge a < 2\right) \vee \left(2 < a \wedge a < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-oo, 2) U (2, oo)
    $$x \in \left(-\infty, 2\right) \cup \left(2, \infty\right)$$