9*x^2-19+37<10*x^2-26*x+49 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 9*x^2-19+37<10*x^2-26*x+49 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       2                 2            
    9*x  - 19 + 37 < 10*x  - 26*x + 49
    $$9 x^{2} - 19 + 37 < 10 x^{2} - 26 x + 49$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$9 x^{2} - 19 + 37 < 10 x^{2} - 26 x + 49$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$9 x^{2} - 19 + 37 = 10 x^{2} - 26 x + 49$$
    Решаем:
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$9 x^{2} - 19 + 37 = 10 x^{2} - 26 x + 49$$
    в
    $$9 x^{2} - 19 + 37 + - 10 x^{2} - - 26 x - 49 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -1$$
    $$b = 26$$
    $$c = -31$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (26)^2 - 4 * (-1) * (-31) = 552

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = - \sqrt{138} + 13$$
    $$x_{2} = \sqrt{138} + 13$$
    $$x_{1} = - \sqrt{138} + 13$$
    $$x_{2} = \sqrt{138} + 13$$
    $$x_{1} = - \sqrt{138} + 13$$
    $$x_{2} = \sqrt{138} + 13$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \sqrt{138} + 13$$
    $$x_{2} = \sqrt{138} + 13$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
           _____   1 
    13 - \/ 138  - --
                   10

    =
    $$- \sqrt{138} + \frac{129}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$9 x^{2} - 19 + 37 < 10 x^{2} - 26 x + 49$$
                         2                                   2                              
      /       _____   1 \                 /       _____   1 \       /       _____   1 \     
    9*|13 - \/ 138  - --|  - 19 + 37 < 10*|13 - \/ 138  - --|  - 26*|13 - \/ 138  - --| + 49
      \               10/                 \               10/       \               10/     

                          2                              2             
           /129     _____\      1432      /129     _____\         _____
    18 + 9*|--- - \/ 138 |  < - ---- + 10*|--- - \/ 138 |  + 26*\/ 138 
           \ 10          /       5        \ 10          /              
       

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \sqrt{138} + 13$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \sqrt{138} + 13$$
    $$x > \sqrt{138} + 13$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /                    _____\     /               _____    \\
    Or\And\-oo < x, x < 13 - \/ 138 /, And\x < oo, 13 + \/ 138  < x//
    $$\left(-\infty < x \wedge x < - \sqrt{138} + 13\right) \vee \left(x < \infty \wedge \sqrt{138} + 13 < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                 _____            _____     
    (-oo, 13 - \/ 138 ) U (13 + \/ 138 , oo)
    $$x \in \left(-\infty, - \sqrt{138} + 13\right) \cup \left(\sqrt{138} + 13, \infty\right)$$