(4^(-1/x)-4)*(x-4)*1/log(4*x-16*x/5)>=0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (4^(-1/x)-4)*(x-4)*1/log(4*x-16*x/5)>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
    / -1     \             
    | ---    |             
    |  x     |             
    \4    - 4/*(x - 4)     
    ------------------ >= 0
        /      16*x\       
     log|4*x - ----|       
        \       5  /       
    $$\frac{\left(-4 + 4^{- \frac{1}{x}}\right) \left(x - 4\right)}{\log{\left (4 x - \frac{16 x}{5} \right )}} \geq 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\left(-4 + 4^{- \frac{1}{x}}\right) \left(x - 4\right)}{\log{\left (4 x - \frac{16 x}{5} \right )}} \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\left(-4 + 4^{- \frac{1}{x}}\right) \left(x - 4\right)}{\log{\left (4 x - \frac{16 x}{5} \right )}} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{\left(-4 + 4^{- \frac{1}{x}}\right) \left(x - 4\right)}{\log{\left (4 x - \frac{16 x}{5} \right )}} = 0$$
    преобразуем
    $$- \frac{2^{- \frac{2}{x}} \left(2^{2 + \frac{2}{x}} - 1\right) \left(x - 4\right)}{\log{\left (x \right )} - \log{\left (5 \right )} + \log{\left (4 \right )}} = 0$$
    $$\frac{\left(-4 + \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{x}}\right) \left(x - 4\right)}{\log{\left (x \right )} - \log{\left (5 \right )} + \log{\left (4 \right )}} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (5 \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$\frac{\left(-4 + \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{x}}\right) \left(x - 4\right)}{- w + \log{\left (x \right )} + \log{\left (4 \right )}} = 0$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатель -w + log(4) + log(x)
    получим:
    $$- 2^{- \frac{2}{x}} \left(2^{2 + \frac{2}{x}} - 1\right) \left(x - 4\right) = 0$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    -2^-2/x-1+2+2+2/x)-4+x = 0

    Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:
    -2^(-2/x)*(-1 + 2^(2 + 2/x))*(-4 + x) = 0

    Переносим свободные слагаемые (без w)
    из левой части в правую, получим:
         -2  /          2 \             
         --- |      2 + --|             
           1 |           1|             
          x  |          x |             
    1 - 2   *\-1 + 2      /*(-4 + x) = 1

    Данное ур-ние не имеет решений
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (5 \right )} = w$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 4$$
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 4$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 4$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\left(-4 + 4^{- \frac{1}{x}}\right) \left(x - 4\right)}{\log{\left (4 x - \frac{16 x}{5} \right )}} \geq 0$$
    /   -1       \                 
    | -------    |                 
    |       1    |                 
    | /-11 \     |                 
    | |----|     |                 
    | \ 10 /     | /  11    \      
    \4        - 4/*|- -- - 4|      
                   \  10    /      
    -------------------------- >= 0
        /          /16*(-11)\\     
        |          |--------||     
       1|4*(-11)   \   10   /|     
    log |------- - ----------|     
        |   10          1    |     
        \              5     /     

                    9/11          
          102   51*2              
          --- - --------          
           5       5          >= 0
    -------------------------     
    -log(25) + pi*I + log(22)     
         

    Тогда
    $$x \leq -1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq -1 \wedge x \leq 4$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(x <= 4, 5/4 < x), x = -1)
    $$\left(x \leq 4 \wedge \frac{5}{4} < x\right) \vee x = -1$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    {-1} U (5/4, 4]
    $$x \in \left\{-1\right\} \cup \left(\frac{5}{4}, 4\right]$$