5^(x+1)-3*5^x>50 (неравенство)

 x + 1      x     
5      - 3*5  > 50

$$- 3 \cdot 5^{x} + 5^{x + 1} > 50$$

Дано неравенство:
$$- 3 \cdot 5^{x} + 5^{x + 1} > 50$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 3 \cdot 5^{x} + 5^{x + 1} = 50$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 3 \cdot 5^{x} + 5^{x + 1} = 50$$
или
$$- 3 \cdot 5^{x} + 5^{x + 1} - 50 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$- 3 v + 5^{1} v^{1} - 50 = 0$$
или
$$2 v - 50 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$2 v = 50$$
Разделим обе части ур-ния на 2

v = 50 / (2)

делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$
$$x_{1} = 25$$
$$x_{1} = 25$$
Данные корни
$$x_{1} = 25$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{249}{10}$$
=
$$\frac{249}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 3 \cdot 5^{x} + 5^{x + 1} > 50$$

 249          249     
 --- + 1      ---     
  10           10     
5        - 3*5    > 50

                    9/10     
119209289550781250*5     > 50
     

значит решение неравенства будет при:
$$x < 25$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

And(2 < x, x < oo)

$$2 < x \wedge x < \infty$$

(2, oo)

$$x \in \left(2, \infty\right)$$