5^(x+1)-3*5^x>50 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 5^(x+1)-3*5^x>50 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     x + 1      x     
    5      - 3*5  > 50
    $$- 3 \cdot 5^{x} + 5^{x + 1} > 50$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$- 3 \cdot 5^{x} + 5^{x + 1} > 50$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$- 3 \cdot 5^{x} + 5^{x + 1} = 50$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$- 3 \cdot 5^{x} + 5^{x + 1} = 50$$
    или
    $$- 3 \cdot 5^{x} + 5^{x + 1} - 50 = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = 5^{x}$$
    получим
    $$- 3 v + 5^{1} v^{1} - 50 = 0$$
    или
    $$2 v - 50 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без v)
    из левой части в правую, получим:
    $$2 v = 50$$
    Разделим обе части ур-ния на 2
    v = 50 / (2)

    делаем обратную замену
    $$5^{x} = v$$
    или
    $$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$
    $$x_{1} = 25$$
    $$x_{1} = 25$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 25$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{249}{10}$$
    =
    $$\frac{249}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$- 3 \cdot 5^{x} + 5^{x + 1} > 50$$
     249          249     
     --- + 1      ---     
      10           10     
    5        - 3*5    > 50

                        9/10     
    119209289550781250*5     > 50
         

    значит решение неравенства будет при:
    $$x < 25$$
     _____          
          \    
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    And(2 < x, x < oo)
    $$2 < x \wedge x < \infty$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (2, oo)
    $$x \in \left(2, \infty\right)$$