log(1/2)*1/log(2*x-1)>=-1 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: log(1/2)*1/log(2*x-1)>=-1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      log(1/2)        
    ------------ >= -1
    log(2*x - 1)      
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (2 x - 1 \right )}} \geq -1$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (2 x - 1 \right )}} \geq -1$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (2 x - 1 \right )}} = -1$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (2 x - 1 \right )}} = -1$$
    преобразуем
    $$1 - \frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (2 x - 1 \right )}} = 0$$
    $$1 + \frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (2 x - 1 \right )}} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (2 x - 1 \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$1 + \frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (2 x - 1 \right )}} = 0$$
    Используем правило пропорций:
    Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
    В нашем случае
    a1 = -log(2)

    b1 = log(-1 + 2*x)

    a2 = 1

    b2 = -1

    зн. получим ур-ние
    $$-1 \left(- \log{\left (2 \right )}\right) = \log{\left (2 x - 1 \right )}$$
    $$\log{\left (2 \right )} = \log{\left (2 x - 1 \right )}$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    log2 = log(-1 + 2*x)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    log2 = log-1+2*x

    Данное ур-ние не имеет решений
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (2 x - 1 \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\log{\left (2 x - 1 \right )} = w$$
    $$\log{\left (2 x - 1 \right )} = w$$
    Это уравнение вида:
    log(v)=p

    По определению log
    v=e^p

    тогда
               w
               -
               1
    2*x - 1 = e 

    упрощаем
    $$2 x - 1 = e^{w}$$
    $$2 x = e^{w} + 1$$
    $$x = \frac{e^{w}}{2} + \frac{1}{2}$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = \frac{3}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{3}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{3}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{7}{5}$$
    =
    $$\frac{7}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (2 x - 1 \right )}} \geq -1$$
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}}{\log{\left (-1 + \frac{14}{5} 1 \right )}} \geq -1$$
        -log(2)           
    ---------------- >= -1
    -log(5) + log(9)      

    но
        -log(2)          
    ---------------- < -1
    -log(5) + log(9)     

    Тогда
    $$x \leq \frac{3}{2}$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x \geq \frac{3}{2}$$
             _____  
            /
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(3/2 <= x, x < oo), And(-oo < x, x < 1))
    $$\left(\frac{3}{2} \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(-\infty < x \wedge x < 1\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, 1) U [3/2, oo)
    $$x \in \left(-\infty, 1\right) \cup \left[\frac{3}{2}, \infty\right)$$