(x-2)^3*(x+1)*(x-1)^2*1/(x-5)>0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x-2)^3*(x+1)*(x-1)^2*1/(x-5)>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
           3                2    
    (x - 2) *(x + 1)*(x - 1)     
    ------------------------- > 0
              x - 5              
    $$\frac{\left(x - 2\right)^{3} \left(x + 1\right)}{x - 5} \left(x - 1\right)^{2} > 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\left(x - 2\right)^{3} \left(x + 1\right)}{x - 5} \left(x - 1\right)^{2} > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\left(x - 2\right)^{3} \left(x + 1\right)}{x - 5} \left(x - 1\right)^{2} = 0$$
    Решаем:
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{3} = 2$$
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{3} = 2$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{3} = 2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\left(x - 2\right)^{3} \left(x + 1\right)}{x - 5} \left(x - 1\right)^{2} > 0$$
    $$\frac{\left(-2 + - \frac{11}{10}\right)^{3} \left(- \frac{11}{10} + 1\right)}{-5 + - \frac{11}{10}} \left(- \frac{11}{10} - 1\right)^{2} > 0$$
    -13137831     
    ---------- > 0
     6100000      

    Тогда
    $$x < -1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -1 \wedge x < 1$$
             _____           _____  
            /     \         /
    -------ο-------ο-------ο-------
           x1      x2      x3

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x > -1 \wedge x < 1$$
    $$x > 2$$
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-1 < x, x < 1), And(1 < x, x < 2), And(5 < x, x < oo))
    $$\left(-1 < x \wedge x < 1\right) \vee \left(1 < x \wedge x < 2\right) \vee \left(5 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-1, 1) U (1, 2) U (5, oo)
    $$x \in \left(-1, 1\right) \cup \left(1, 2\right) \cup \left(5, \infty\right)$$