log(7^(2*1/(x^2)+x))*1/log((sqrt(7))^x+1/2)<4*1/(2*x+1) (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: log(7^(2*1/(x^2)+x))*1/log((sqrt(7))^x+1/2)<4*1/(2*x+1) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
         / 2     \           
         | -- + x|           
         |  2    |           
         | x     |           
      log\7      /       4   
    --------------- < -------
       /     x    \   2*x + 1
       |  ___    1|          
    log|\/ 7   + -|          
       \         2/          
    $$\frac{\log{\left (7^{x + \frac{2}{x^{2}}} \right )}}{\log{\left (\left(\sqrt{7}\right)^{x} + \frac{1}{2} \right )}} < \frac{4}{2 x + 1}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\log{\left (7^{x + \frac{2}{x^{2}}} \right )}}{\log{\left (\left(\sqrt{7}\right)^{x} + \frac{1}{2} \right )}} < \frac{4}{2 x + 1}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\log{\left (7^{x + \frac{2}{x^{2}}} \right )}}{\log{\left (\left(\sqrt{7}\right)^{x} + \frac{1}{2} \right )}} = \frac{4}{2 x + 1}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{\log{\left (7^{x + \frac{2}{x^{2}}} \right )}}{\log{\left (\left(\sqrt{7}\right)^{x} + \frac{1}{2} \right )}} = \frac{4}{2 x + 1}$$
    преобразуем
    $$\frac{\left(2 x + 1\right) \log{\left (7^{\frac{1}{x^{2}} \left(x^{3} + 2\right)} \right )} - 4 \log{\left (7^{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2} \right )}}{\left(2 x + 1\right) \log{\left (7^{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2} \right )}} = 0$$
    $$\frac{\log{\left (7^{x + \frac{2}{x^{2}}} \right )}}{\log{\left (\left(\sqrt{7}\right)^{x} + \frac{1}{2} \right )}} - \frac{4}{2 x + 1} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (7^{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2} \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$\frac{\log{\left (7^{x + \frac{2}{x^{2}}} \right )}}{\log{\left (\left(\sqrt{7}\right)^{x} + \frac{1}{2} \right )}} - \frac{4}{2 x + 1} = 0$$
    Используем правило пропорций:
    Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
    В нашем случае
    a1 = log(7^(x + 2/x^2))

    b1 = log(1/2 + 7^(x/2))

    a2 = 4

    b2 = 1 + 2*x

    зн. получим ур-ние
    $$\left(2 x + 1\right) \log{\left (7^{x + \frac{2}{x^{2}}} \right )} = 4 \log{\left (7^{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2} \right )}$$
    $$\left(2 x + 1\right) \log{\left (7^{x + \frac{2}{x^{2}}} \right )} = 4 \log{\left (7^{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2} \right )}$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    1+2*xlog7+x+2/x+2) = 4*log(1/2 + 7^(x/2))

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    1+2*xlog7+x+2/x+2) = 4*log1/2+7+x/2)

    Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:
    (1 + 2*x)*log(7^(x + 2/x^2)) = 4*log1/2+7+x/2)

    Данное ур-ние не имеет решений
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (7^{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2} \right )} = w$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = -0.485034771194$$
    $$x_{2} = -1.16649489341$$
    $$x_{1} = -0.485034771194$$
    $$x_{2} = -1.16649489341$$
    Данные корни
    $$x_{2} = -1.16649489341$$
    $$x_{1} = -0.485034771194$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$-1.26649489341$$
    =
    $$-1.26649489341$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\log{\left (7^{x + \frac{2}{x^{2}}} \right )}}{\log{\left (\left(\sqrt{7}\right)^{x} + \frac{1}{2} \right )}} < \frac{4}{2 x + 1}$$
    $$\frac{\log{\left (7^{-1.26649489341 + \frac{2}{\left(-1.26649489341\right)^{2}}} \right )}}{\log{\left (\left(\sqrt{7}\right)^{-1.26649489341} + \frac{1}{2} \right )}} < \frac{4}{-1.26649489341 \cdot 2 + 1}$$
    0.163395087848489 < -2.60928026682912

    но
    0.163395087848489 > -2.60928026682912

    Тогда
    $$x < -1.16649489341$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -1.16649489341 \wedge x < -0.485034771194$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x2      x1