log(x+2)*1/log(2*x^2+x)<=2 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: log(x+2)*1/log(2*x^2+x)<=2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      log(x + 2)      
    ------------- <= 2
       /   2    \     
    log\2*x  + x/     
    $$\frac{\log{\left (x + 2 \right )}}{\log{\left (2 x^{2} + x \right )}} \leq 2$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\log{\left (x + 2 \right )}}{\log{\left (2 x^{2} + x \right )}} \leq 2$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\log{\left (x + 2 \right )}}{\log{\left (2 x^{2} + x \right )}} = 2$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{\log{\left (x + 2 \right )}}{\log{\left (2 x^{2} + x \right )}} = 2$$
    преобразуем
    $$\frac{\log{\left (x + 2 \right )}}{\log{\left (2 x^{2} + x \right )}} - 2 = 0$$
    $$\frac{\log{\left (x + 2 \right )}}{\log{\left (2 x^{2} + x \right )}} - 2 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (2 x^{2} + x \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$\frac{\log{\left (x + 2 \right )}}{\log{\left (2 x^{2} + x \right )}} - 2 = 0$$
    Используем правило пропорций:
    Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
    В нашем случае
    a1 = log(2 + x)

    b1 = log(x + 2*x^2)

    a2 = 1

    b2 = 1/2

    зн. получим ур-ние
    $$\frac{1}{2} \log{\left (x + 2 \right )} = \log{\left (2 x^{2} + x \right )}$$
    $$\frac{1}{2} \log{\left (x + 2 \right )} = \log{\left (2 x^{2} + x \right )}$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    log2/2+x/2 = log(x + 2*x^2)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    log2/2+x/2 = logx+2*x+2

    Данное ур-ние не имеет решений
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (2 x^{2} + x \right )} = w$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{83}{288 \sqrt[3]{- \frac{71}{13824} + \frac{7 \sqrt{327}}{2304}}} + \frac{1}{12} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{13824} + \frac{7 \sqrt{327}}{2304}}} + \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{13824} + \frac{7 \sqrt{327}}{2304}} + \frac{1}{6} + \frac{83}{288 \sqrt[3]{- \frac{71}{13824} + \frac{7 \sqrt{327}}{2304}}} + \frac{1}{2 \sqrt{- \frac{83}{288 \sqrt[3]{- \frac{71}{13824} + \frac{7 \sqrt{327}}{2304}}} + \frac{1}{12} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{13824} + \frac{7 \sqrt{327}}{2304}}}}}$$
    Исключаем комплексные решения:
    Данное ур-ние не имеет решений,
    значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
    проверим
    подставляем произвольную точку, например
    x0 = 0

    $$\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (2 \cdot 0^{2} \right )}} \leq 2$$
    0 <= 2

    зн. неравенство выполняется всегда
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]