2*1/(x-1)<=x (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 2*1/(x-1)<=x (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      2       
    ----- <= x
    x - 1     
    $$\frac{2}{x - 1} \leq x$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{2}{x - 1} \leq x$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{2}{x - 1} = x$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{2}{x - 1} = x$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
    и -1 + x
    получим:
    $$\frac{2}{x - 1} \left(x - 1\right) = x \left(x - 1\right)$$
    $$2 = x^{2} - x$$
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$2 = x^{2} - x$$
    в
    $$- x^{2} + x + 2 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -1$$
    $$b = 1$$
    $$c = 2$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (1)^2 - 4 * (-1) * (2) = 9

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 2$$
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 2$$
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 2$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{2}{x - 1} \leq x$$
    $$\frac{2}{- \frac{11}{10} - 1} \leq - \frac{11}{10}$$
    -20     -11 
    ---- <= ----
     21      10 

    но
    -20     -11 
    ---- >= ----
     21      10 

    Тогда
    $$x \leq -1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq -1 \wedge x \leq 2$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-1 <= x, x < 1), And(2 <= x, x < oo))
    $$\left(-1 \leq x \wedge x < 1\right) \vee \left(2 \leq x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    [-1, 1) U [2, oo)
    $$x \in \left[-1, 1\right) \cup \left[2, \infty\right)$$