sin(2*x)>(-sqrt(2))*1/2 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: sin(2*x)>(-sqrt(2))*1/2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                  ___ 
               -\/ 2  
    sin(2*x) > -------
                  2   
    $$\sin{\left (2 x \right )} > \frac{-1 \sqrt{2}}{2}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\sin{\left (2 x \right )} > \frac{-1 \sqrt{2}}{2}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sin{\left (2 x \right )} = \frac{-1 \sqrt{2}}{2}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (2 x \right )} = \frac{-1 \sqrt{2}}{2}$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
    $$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
    Или
    $$2 x = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
    $$2 x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
    , где n - любое целое число
    Разделим обе части полученного ур-ния на
    $$2$$
    $$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{8}$$
    $$x_{2} = \pi n + \frac{5 \pi}{8}$$
    $$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{8}$$
    $$x_{2} = \pi n + \frac{5 \pi}{8}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{8}$$
    $$x_{2} = \pi n + \frac{5 \pi}{8}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
      pi          1 
    - -- + pi*n - --
      8           10

    =
    $$\pi n - \frac{\pi}{8} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\sin{\left (2 x \right )} > \frac{-1 \sqrt{2}}{2}$$
                                   ___ 
       /  /  pi          1 \\   -\/ 2  
    sin|2*|- -- + pi*n - --|| > -------
       \  \  8           10//      2   

                               ___ 
        /1   pi         \   -\/ 2  
    -sin|- + -- - 2*pi*n| > -------
        \5   4          /      2   
                            

    Тогда
    $$x < \pi n - \frac{\pi}{8}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > \pi n - \frac{\pi}{8} \wedge x < \pi n + \frac{5 \pi}{8}$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /-pi           5*pi\     /5*pi            \\
    Or|And|---- < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo||
      \   \ 8             8  /     \ 8              //
    $$\left(- \frac{\pi}{8} < x \wedge x < \frac{5 \pi}{8}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{8} < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     -pi   5*pi     5*pi     
    (----, ----) U (----, oo)
      8     8        8       
    $$x \in \left(- \frac{\pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{8}, \infty\right)$$