(t^2-25*t+26)/(t-1)+(t^2+7*t+1)/(t-7)<=2*t-24 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (t^2-25*t+26)/(t-1)+(t^2+7*t+1)/(t-7)<=2*t-24 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 2                2                      
t  - 25*t + 26   t  + 7*t + 1            
-------------- + ------------ <= 2*t - 24
    t - 1           t - 7                

$$\frac{t^{2} - 25 t + 26}{t - 1} + \frac{t^{2} + 7 t + 1}{t - 7} \leq 2 t - 24$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{t^{2} - 25 t + 26}{t - 1} + \frac{t^{2} + 7 t + 1}{t - 7} \leq 2 t - 24$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{t^{2} - 25 t + 26}{t - 1} + \frac{t^{2} + 7 t + 1}{t - 7} = 2 t - 24$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\frac{t^{2} - 25 t + 26}{t - 1} + \frac{t^{2} + 7 t + 1}{t - 7} = 2 t - 24$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = 26 + t^2 - 25*t

b1 = -1 + t

a2 = 1

b2 = 1/(-24 + 2*t - (1 + t^2 + 7*t)/(-7 + t))

зн. получим ур-ние
$$\frac{t^{2} - 25 t + 26}{2 t - 24 - \frac{t^{2} + 7 t + 1}{t - 7}} = t - 1$$
$$\frac{t^{2} - 25 t + 26}{2 t - 24 - \frac{t^{2} + 7 t + 1}{t - 7}} = t - 1$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

26+t+2+25*t-24+2*t+1+t+2+7*t-7+t) = -1 + t

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

(26 + t^2 - 25*t)/(-24 + 2*t - (1 + t^2 + 7*t)/(-7 + t)) = -1 + t

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:

                  2                      
            26 + t  - 25*t               
24 + --------------------------- = 23 + t
                               1         
     /                 2      \          
     |            1 + t  + 7*t|          
     |-24 + 2*t - ------------|          
     |                     1  |          
     \             (-7 + t)   /          

Переносим слагаемые с неизвестным x
из правой части в левую:

                      2                  
                26 + t  - 25*t           
24 - t + --------------------------- = 23
                                   1     
         /                 2      \      
         |            1 + t  + 7*t|      
         |-24 + 2*t - ------------|      
         |                     1  |      
         \             (-7 + t)   /      

Данное ур-ние не имеет решений
$$x_{1} = -0.714285714286$$
$$x_{2} = 1.5$$
$$x_{1} = -0.714285714286$$
$$x_{2} = 1.5$$
Данные корни
$$x_{1} = -0.714285714286$$
$$x_{2} = 1.5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-0.814285714286$$
=
$$-0.814285714286$$
подставляем в выражение
$$\frac{t^{2} - 25 t + 26}{t - 1} + \frac{t^{2} + 7 t + 1}{t - 7} \leq 2 t - 24$$

 2                2                      
t  - 25*t + 26   t  + 7*t + 1            
-------------- + ------------ <= 2*t - 24
          1               1              
   (t - 1)         (t - 7)               

      2               2                   
26 + t  - 25*t   1 + t  + 7*t             
-------------- + ------------ <= -24 + 2*t
    -1 + t          -7 + t                
             

Тогда
$$x \leq -0.714285714286$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -0.714285714286 \wedge x \leq 1.5$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Быстрый ответ

Or(And(-5/7 <= t, t < 1), And(3/2 <= t, t < 7))

$$\left(- \frac{5}{7} \leq t \wedge t < 1\right) \vee \left(\frac{3}{2} \leq t \wedge t < 7\right)$$

Быстрый ответ 2

[-5/7, 1) U [3/2, 7)

$$x \in \left[- \frac{5}{7}, 1\right) \cup \left[\frac{3}{2}, 7\right)$$