2*x^2-3*x-1>0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 2*x^2-3*x-1>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       2              
    2*x  - 3*x - 1 > 0
    $$2 x^{2} - 3 x - 1 > 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$2 x^{2} - 3 x - 1 > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$$
    Решаем:
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 2$$
    $$b = -3$$
    $$c = -1$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-3)^2 - 4 * (2) * (-1) = 17

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{3}{4}$$
    $$x_{1} = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{3}{4}$$
    $$x_{1} = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{3}{4}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{3}{4}$$
    $$x_{1} = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
          ____     
    3   \/ 17    1 
    - - ------ - --
    4     4      10

    =
    $$- \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{13}{20}$$
    подставляем в выражение
    $$2 x^{2} - 3 x - 1 > 0$$
                       2                              
      /      ____     \      /      ____     \        
      |3   \/ 17    1 |      |3   \/ 17    1 |        
    2*|- - ------ - --|  - 3*|- - ------ - --| - 1 > 0
      \4     4      10/      \4     4      10/        

                          2               
             /       ____\        ____    
      59     |13   \/ 17 |    3*\/ 17  > 0
    - -- + 2*|-- - ------|  + --------    
      20     \20     4   /       4        

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{3}{4}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{3}{4}$$
    $$x > \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /                   ____\     /              ____    \\
      |   |             3   \/ 17 |     |        3   \/ 17     ||
    Or|And|-oo < x, x < - - ------|, And|x < oo, - + ------ < x||
      \   \             4     4   /     \        4     4       //
    $$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{3}{4}\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                ____           ____     
          3   \/ 17      3   \/ 17      
    (-oo, - - ------) U (- + ------, oo)
          4     4        4     4        
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{3}{4}\right) \cup \left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}, \infty\right)$$