|2*x-1|<|x-1| (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: |2*x-1|<|x-1| (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    |2*x - 1| < |x - 1|
    $$\left|{2 x - 1}\right| < \left|{x - 1}\right|$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left|{2 x - 1}\right| < \left|{x - 1}\right|$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left|{2 x - 1}\right| = \left|{x - 1}\right|$$
    Решаем:
    Для каждого выражения под модулем в ур-нии
    допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
    решаем получившиеся ур-ния.

    1.
    $$x - 1 \geq 0$$
    $$2 x - 1 \geq 0$$
    или
    $$1 \leq x \wedge x < \infty$$
    получаем ур-ние
    $$- x - 1 + 2 x - 1 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$x = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{1} = 0$$
    но x1 не удовлетворяет неравенству

    2.
    $$x - 1 \geq 0$$
    $$2 x - 1 < 0$$
    Неравенства не выполняются, пропускаем

    3.
    $$x - 1 < 0$$
    $$2 x - 1 \geq 0$$
    или
    $$\frac{1}{2} \leq x \wedge x < 1$$
    получаем ур-ние
    $$- - x + 1 + 2 x - 1 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$3 x - 2 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{2} = \frac{2}{3}$$

    4.
    $$x - 1 < 0$$
    $$2 x - 1 < 0$$
    или
    $$-\infty < x \wedge x < \frac{1}{2}$$
    получаем ур-ние
    $$- - x + 1 + - 2 x + 1 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$- x = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{3} = 0$$


    $$x_{1} = \frac{2}{3}$$
    $$x_{2} = 0$$
    $$x_{1} = \frac{2}{3}$$
    $$x_{2} = 0$$
    Данные корни
    $$x_{2} = 0$$
    $$x_{1} = \frac{2}{3}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left|{2 x - 1}\right| < \left|{x - 1}\right|$$
    $$\left|{-1 + \frac{-2}{10} 1}\right| < \left|{-1 + - \frac{1}{10}}\right|$$
          11
    6/5 < --
          10

    но
          11
    6/5 > --
          10

    Тогда
    $$x < 0$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > 0 \wedge x < \frac{2}{3}$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    And(0 < x, x < 2/3)
    $$0 < x \wedge x < \frac{2}{3}$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (0, 2/3)
    $$x \in \left(0, \frac{2}{3}\right)$$