(x^2-6*x+10)*(x-3)*(x^2-9)>0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: (x^2-6*x+10)*(x-3)*(x^2-9)>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    / 2           \         / 2    \    
    \x  - 6*x + 10/*(x - 3)*\x  - 9/ > 0
    $$\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 6 x + 10\right) \left(x^{2} - 9\right) > 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 6 x + 10\right) \left(x^{2} - 9\right) > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 6 x + 10\right) \left(x^{2} - 9\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 6 x + 10\right) \left(x^{2} - 9\right) = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x - 3 = 0$$
    $$x^{2} - 9 = 0$$
    $$x^{2} - 6 x + 10 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x - 3 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = 3$$
    Получим ответ: x1 = 3
    2.
    $$x^{2} - 9 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = 0$$
    $$c = -9$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (0)^2 - 4 * (1) * (-9) = 36

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{2} = 3$$
    $$x_{3} = -3$$
    3.
    $$x^{2} - 6 x + 10 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{4} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{5} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -6$$
    $$c = 10$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-6)^2 - 4 * (1) * (10) = -4

    Т.к. D < 0, то уравнение
    не имеет вещественных корней,
    но комплексные корни имеются.
    x4 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x5 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{4} = 3 + i$$
    $$x_{5} = 3 - i$$
    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{2} = 3$$
    $$x_{3} = -3$$
    $$x_{4} = 3 + i$$
    $$x_{5} = 3 - i$$
    Исключаем комплексные решения:
    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{3} = -3$$
    Данные корни
    $$x_{3} = -3$$
    $$x_{1} = 3$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{3}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{31}{10}$$
    =
    $$- \frac{31}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(x - 3\right) \left(x^{2} - 6 x + 10\right) \left(x^{2} - 9\right) > 0$$
    /      2               \            /      2    \    
    |/-31 \    6*(-31)     | /  31    \ |/-31 \     |    
    ||----|  - ------- + 10|*|- -- - 3|*||----|  - 9| > 0
    \\ 10 /       10       / \  10    / \\ 10 /     /    

    -14217941     
    ---------- > 0
      100000      

    Тогда
    $$x < -3$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -3 \wedge x < 3$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x3      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x > -3 \wedge x < 3$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-3 < x, x < 3), And(3 < x, x < oo))
    $$\left(-3 < x \wedge x < 3\right) \vee \left(3 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-3, 3) U (3, oo)
    $$x \in \left(-3, 3\right) \cup \left(3, \infty\right)$$