10*x>2^x (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 10*x>2^x (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
            x
    10*x > 2 
    $$10 x > 2^{x}$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$10 x > 2^{x}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$10 x = 2^{x}$$
    Решаем:
    $$x_{1} = - \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{10} \log{\left (2 \right )} \right )}$$
    $$x_{1} = - \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{10} \log{\left (2 \right )} \right )}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{10} \log{\left (2 \right )} \right )}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
              /-log(2) \     
      LambertW|--------|     
              \   10   /   1 
    - ------------------ - --
              1            10
           log (2)           

    =
    $$- \frac{1}{10} - \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{10} \log{\left (2 \right )} \right )}$$
    подставляем в выражение
    $$10 x > 2^{x}$$
                                                /-log(2) \     
                                        LambertW|--------|     
                                                \   10   /   1 
       /          /-log(2) \     \    - ------------------ - --
       |  LambertW|--------|     |              1            10
       |          \   10   /   1 |           log (2)           
    10*|- ------------------ - --| > 2                         
       |          1            10|                             
       \       log (2)           /                             

                                                 /-log(2) \
                    /-log(2) \           LambertW|--------|
         10*LambertW|--------|      1            \   10   /
                    \   10   / >  - -- - ------------------
    -1 - ---------------------      10         log(2)      
                 log(2)          2                         
                                 

    Тогда
    $$x < - \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{10} \log{\left (2 \right )} \right )}$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x > - \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{10} \log{\left (2 \right )} \right )}$$
             _____  
            /
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
       /             /-log(2)     \            /-log(2) \     \
       |    -LambertW|--------, -1|   -LambertW|--------|     |
       |             \   10       /            \   10   /     |
    And|x < ------------------------, -------------------- < x|
       \             log(2)                  log(2)           /
    $$x < - \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{10} \log{\left (2 \right )},-1 \right )} \wedge - \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{10} \log{\left (2 \right )} \right )} < x$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
              /-log(2) \            /-log(2)     \  
     -LambertW|--------|   -LambertW|--------, -1|  
              \   10   /            \   10       /  
    (--------------------, ------------------------)
            log(2)                  log(2)          
    $$x \in \left(- \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{10} \log{\left (2 \right )} \right )}, - \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{10} \log{\left (2 \right )},-1 \right )}\right)$$